ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットでイベンチュアル（最終的）にトポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）内にありスペース（空間）上でコンバージ（収束）するものに対して、コンバージェンス（収束ポイント）はサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）上にあることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットでイベンチュアル（最終的）にサブセット（部分集合）内にあるものの定義を知っている。
- 読者は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、クロージャー（閉包）のあるローカルキャラクタライゼーション: 任意のトポロジカルスペース（空間）上の任意のポイントは任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）上にある、もしも、当該ポイントの各ネイバーフッド（近傍）がサブセット（部分集合）と交わる場合、そしてその場合に限ってを認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットでイベンチュアル（最終的）に任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）内にあり当該スペース（空間）上でコンバージ（収束）するものに対して、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）上にあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T\)
\(D\): \(\in \{\text{ 全てのダイレクテッドセット（有向集合）たち }\}\)
\(f\): \(: D \to T\), \(\in \{\text{ 全てのネットたちでイベンチュアル（最終的）に } S \text{ 内にあるものたち }\}\)
\(t\): \(\in T\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f\)は\(t\)へコンバージ（収束）する
\(\implies\)
\(t \in \overline{S}\).
//
2: 注
任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）上の任意のダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットで当該スペース（空間）上でコンバージする（収束する）ものに対して、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）上にあるという命題が既に証明されているが、実のところ、当該ネットは本当に当該サブセット（部分集合）上にある必要はなく、イベンチュアル（最終的）に当該サブセット（部分集合）内にあればよい、本命題によると。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(t \notin \overline{S}\)であると仮定し、ある矛盾を見つける。
ステップ1:
\(f\)は\(t\)へコンバージ（収束）すると仮定しよう。
\(t \notin \overline{S}\)であったと仮定しよう。
クロージャー（閉包）のあるローカルキャラクタライゼーション: 任意のトポロジカルスペース（空間）上の任意のポイントは任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）上にある、もしも、当該ポイントの各ネイバーフッド（近傍）がサブセット（部分集合）と交わる場合、そしてその場合に限ってによって、\(t\)の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）\(N_t \subseteq T\)、つまり、\(N_t \cap S = \emptyset\)、があることになる。
以下を満たすある\(d \in D\)、つまり、\(d \le d'\)を満たす各\(d' \in D\)に対して、\(f (d') \in N_t\)、があることになる、なぜなら、\(f\)は\(t\)へコンバージ（収束）した。
すると、各\(d'' \in D\)に対して、以下を満たすある\(d''' \in D\)、つまり、\(d, d'' \le d'''\)および\(f (d''') \in N_t\)、があることになる、それが含意することになるのは、\(f (d''') \notin S\)、それが意味することになるのは、\(f\)はイベンチュアル（最終的）に\(S\)内にあることはなかったこと、矛盾。
したがって、\(t \in \overline{S}\)。
