メトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの、コンパクトサブセット（部分集合）、サブセット（部分集合）のオープンカバー（開被覆）に対して、以下を満たすポジティブ（正）リアルナンバー（実数）（ルベーグナンバー（数））、つまり、サブセット（部分集合）のディアミター（直径）がナンバー（数）より小さいサブセット（部分集合）はカバー（被覆）の要素内に包含されている、があることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）のバウンデッドサブセット（有界部分集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの、任意のコンパクトサブセット（部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のオープンカバー（開被覆）に対して、あるポジティブ（正）リアルナンバー（実数）（ルベーグナンバー（数））、当該サブセット（部分集合）のディアミター（直径）が当該ナンバー（数）より小さい各サブセット（部分集合）は当該カバー（被覆）のある要素内に包含されている、があるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、インデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(S\): \(\in \{M \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(Q\): \(= \{U_j \in \{M \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} \vert j \in J\}\)で、\(S \subseteq \cup_{j \in J} U_j\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists r \in \mathbb{R} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 0 \lt r (\forall S^` \subseteq S \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } Diam (S^`) \lt r (\exists j \in J (S^` \subseteq U_j)))\)
//
2: 注
\(M\)がコンパクトである時は、\(S = M\)はあるコンパクトサブセット（部分集合）であり、各\(Q\)に対して、以下を満たすある\(r\)、つまり、各\(S^` \subseteq M\)でディアミター（直径）が\(r\)より小さいものに対して、以下を満たすある\(j \in J\)、つまり、\(S^` \subseteq U_j\)、がある、がある。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S\)の以下を満たすあるオープンカバー（開被覆）\(\{B_{s, \epsilon_s / 2} \vert s \in S\}\)、つまり、\(B_{s, \epsilon_s} \subseteq U_j\)、を取り、あるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{B_{s_l, \epsilon_{s_l} / 2} \vert l \in L\}\)を取る; ステップ2: \(r := Min (\{\epsilon_{s_l} / 2 \vert l \in L\})\)を取る; ステップ3: \(r\)は本命題に対するコンディションたちを満たすことを見る。
ステップ1:
各\(s \in S\)に対して、\(s \in U_j\)、ある\(j \in J\)に対して、そして、以下を満たすある\(B_{s, \epsilon_s} \subseteq M\)、つまり、\(B_{s, \epsilon_s} \subseteq U_j\)、ここで、\(\epsilon_s\)は\(s\)に依存する、がある。
\(\{B_{s, \epsilon_s / 2} \vert s \in S\}\)は\(S\)のあるオープンカバー（開被覆）である。
\(S\)はコンパクトであるから、あるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{B_{s_l, \epsilon_{s_l} / 2} \vert l \in L\}\)がある。
ステップ2:
\(r := Min (\{\epsilon_{s_l} / 2 \vert l \in L\})\)を取ろう。
ステップ3:
\(r\)は、本命題に対するコンディションたちを満たすことを見よう。
\(S^`\)を任意のものとしよう。
\(S^` = \emptyset\)である時は、任意の\(j \in J\)に対して、\(S^` \subseteq U_j\)。
そうでないと仮定しよう、これ以降。
ある\(s^` \in S^`\)がある。
\(s^` \in B_{s_l, \epsilon_{s_l} / 2}\)、ある\(l \in L\)に対して、しかし、\(B_{s_l, \epsilon_{s_l} / 2} \subseteq B_{s_l, \epsilon_{s_l}} \subseteq U_j\)、ある\(j \in J\)に対して。
各\({s^`}' \in S^`\)に対して、\(dist (s_l, {s^`}') \le dist (s_l, s^`) + dist (s^`, {s^`}') \lt \epsilon_{s_l} / 2 + r \le \epsilon_{s_l} / 2 + \epsilon_{s_l} / 2 = \epsilon_{s_l}\)、したがって、\({s^`}' \in B_{s_l, \epsilon_{s_l}} \subseteq U_j\)。
したがって、\(S^` \subseteq U_j\)。
