インジェクティブ（単射）\(C^\infty\)イマージョンは\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である、もしも、マップ（写像）のレンジ（値域）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）がオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、インジェクション（単射）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)イマージョンの定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)イマージョンはローカルにある\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）であるという命題を認めている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題.を認めている。
- 読者は、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のインジェクティブ（単射）\(C^\infty\)イマージョンはある\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である、もしも、当該マップ（写像）のレンジ（値域）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）がオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全てのインジェクティブ（単射） } C^\infty \text{ イマージョンたち }\}\)
\(f'\): \(: M_1 \to f (M_1), m_1 \mapsto f (m_1)\)、ここで、\(f (M_1) \subseteq M_2\)はサブスペース（部分空間）トポロジーを持つ
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ エンベディング（埋め込み）たち }\}\)
\(\iff\)
\(f' \in \{\text{ 全てのオープンマップ（開写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)はローカルにある\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）であることを見、各\(m_1 \in M_1\)に対して、\(m_1\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{m_1}\)、つまり、\(f'_{m_1} := f \vert_{U_{m_1}}: U_{m_1} \to f (U_{m_1})\)はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）である、を取る; ステップ2: \(f'\)はオープン（開）であると仮定する; ステップ3: \(f'^{-1}\)はコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ4; \(f\)はある\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）であると仮定する; ステップ5: \(f'\)はオープン（開）であることを見る。
ステップ1:
\(f\)はインジェクティブ（単射）であるから、\(f'\)はあるバイジェクション（全単射）である、したがって、インバース（逆）\(f'^{-1}: f (M_1) \to M_1\)がある。
\(f\)はある\(C^\infty\)イマージョンであるから、\(f\)はローカルにある\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である、任意の\(C^\infty\)イマージョンはローカルにある\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）であるという命題によって、それが意味するのは、任意のポイント\(m_1 \in M_1\)に対して、\(m_1\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{m_1}\)、つまり、\(f'_{m_1} := f \vert_{U_{m_1}}: U_{m_1} \to f (U_{m_1})\)はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）でインバース（逆）\({f'_{m_1}}^{-1}: f (U_{m_1}) \to U_{m_1}\)を持つ、があること: \(f (U_{m_1})\)は\(M_2\)のあるトポロジカルサブスペース（部分空間）であるところ、それは、\(f (M_1)\)のあるトポロジカルサブスペース（部分空間）である、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって。
\({f'_{m_1}}^{-1}: f (U_{m_1}) \to M_1\)もコンティニュアス（連続）である、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって、それは、\(f'^{-1}\)のあるドメイン（定義域）リストリクション（制限）である、ここで、\(\{f (U_{m_1})\}\)は\(f (M_1)\)の（必ずしもオープン（開）でない）あるカバー（被覆）である。
ステップ2:
\(f'\)はオープン（開）であると仮定しよう。
ステップ3:
\(\{f (U_{m_1})\}\)は\(f (M_1)\)のあるオープンカバー（開被覆）である。
\(f'^{-1}\)の、当該オープンカバー（開被覆）の各要素へのドメイン（定義域）リストリクション（制限）はコンティニュアス（連続）であるから、\(f'^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題によって、したがって、\(f'\)はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）である、したがって、\(f\)はある\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である。
ステップ4:
\(f\)はある\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）であると仮定しよう。
ステップ5:
\(f'\)はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）である。\(f'^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である。
任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U \subseteq M_1\)に対して、\({f'^{-1}}^{-1} (U) = f' (U)\)は\(f (M_1)\)上でオープン（開）である、したがって、\(f'\)はオープン（開）である。
