パラコンパクトトポロジカルスペース（空間）のクローズド（閉）サブスペース（部分空間）はパラコンパクトであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のパラコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズド（閉）サブスペース（部分空間）はパラコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'\): \(= \{\text{ 全てのパラコンパクトトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T\): \(\in \{T' \text{ の全てのクローズドサブスペース（閉部分空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのパラコンパクトトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(T\)の各オープンカバー（開被覆）\(\{U_j \vert j \in J\}\)に対して、\(T'\)のオープンカバー（開被覆）\(\{U'_J \vert j \in J\} \cup \{T' \setminus T\}\)、ここで、\(U_j = U'_j \cap T\)、を取る; ステップ2: \(\{U'_J \vert j \in J\} \cup \{T' \setminus T\}\)の任意のローカルにファイナイト（有限）リファインメント\(\{V'_l \vert l \in L\}\)を取り、\(\{V'_l \cap T \vert l \in L\} \setminus \{\emptyset\}\)は\(\{U_j \vert j \in J\}\)のあるローカルにファイナイト（有限）リファインメントであることを見る。
ステップ1:
\(\{U_j \vert j \in J\}\)、ここで、\(J\)は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、を\(T\)の任意のオープンカバー（開被覆）としよう。
各\(j \in J\)に対して、\(U_j = U'_j \cap T\)、ここで、\(U'_j \subseteq T'\)はあるオープンサブセット（開部分集合）、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義によって。
\(\{U'_J \vert j \in J\} \cup \{T' \setminus T\}\)、それは、\(T'\)のあるオープンカバー（開被覆）である、なぜなら、\(U'_J \subseteq T'\)はオープン（開）であり\(T' \setminus T \subseteq T'\)はオープン（開）であり、各\(t' \in T'\)に対して、\(t' \in T\)または\(t' \in T' \setminus T\)、そして、\(t' \in T\)である時は、\(t' \in U_j\)、ある\(j \in J\)に対して、したがって、\(t' \in U'_j \cap T \subseteq U'_j\)、そして、\(t' \in T' \setminus T\)である時は、\(t' \in T' \setminus T\)。
ステップ2:
\(T'\)はパラコンパクトであるから、\(\{U'_J \vert j \in J\} \cup \{T' \setminus T\}\)のあるローカルにファイナイト（有限）リファインメント\(\{V'_l \vert l \in L\}\)がある。
\(\{V'_l \cap T \vert l \in L\} \setminus \{\emptyset\} = \{V'_l \cap T \vert l \in L^`\}\)、ここで、\(L^` \subseteq L\)、を取ろう: 実のところ、\(\emptyset\)を除去する必要はない、それは無用であるが。
それは\(T\)のあるオープンカバー（開被覆）である、なぜなら、\(V'_l \cap T\)は\(T\)上でオープン（開）である、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義によって、そして、各\(t \in T\)に対して、\(t \in T'\)であるから、\(t \in V'_l\)、ある\(l \in L\)に対して、そして、\(t \in V'_l \cap T\)、その一方で、\(l \in L^`\)、なぜなら、\(V'_l \cap T \neq \emptyset\)。
各\(l \in L^`\)に対して、\(V'_l \subseteq U'_j\)、ある\(j \in J\)に対して（\(V'_l \subseteq T' \setminus T\)は不可能である、なぜなら、そうでなければ、\((V'_l \cap T) \subseteq ((T' \setminus T) \cap T) = \emptyset\)）、したがって、\(V'_l \cap T \subseteq U'_j \cap T = U_j\)、したがって、\(\{V'_l \cap T \vert l \in L^`\}\)は\(\{U_j \vert j \in J\}\)のあるリファインメントである。
\(\{V'_l \cap T \vert l \in L^`\}\)は\(T\)上においてローカルにファイナイト（有限）であることを見よう。
\(t \in T\)を任意のものとしよう。
\(t \in T'\)、したがって、\(t\)の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）\(N'_t \subseteq T'\)、つまり、\(N'_t\)は\(\{V'_l \vert l \in L\}\)の中の何らかファイナイト（有限）個\(\{V'_{l_1}, ..., V'_{l_n}\}\)のみと交わる、なぜなら、\(\{V'_l \vert l \in L\}\)はローカルにファイナイト（有限）である。
\(N'_t \cap T \subseteq T\)は\(t\)のあるネイバーフッド（近傍）である、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブスペース（部分空間）上の任意のポイントに対して、当該ポイントの当該ベーススペース（空間）上の任意のネイバーフッド（近傍）と当該サブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）は当該サブスペース（部分空間）上でネイバーフッド（近傍）であるという命題によって。
すると、\(N'_t \cap T\)は\(\{V'_l \cap T \vert l \in L\}\)中の\(\{V'_{l_1} \cap T, ..., V'_{l_n} \cap T\}\)のみと交わることができる、なぜなら、\(N'_t \cap V'_l = \emptyset\)である時、\(N'_t \cap V'_l \cap T = \emptyset \cap T = \emptyset\)、その一方で、\(N'_t \cap V'_l \cap T = N'_t \cap V'_l \cap T \cap T = (N'_t \cap T) \cap (V'_l \cap T)\)、すると、\(N'_t \cap T\)は\(\{V'_l \cap T \vert l \in L^`\}\)中の\(\{V'_{l_1} \cap T, ..., V'_{l_n} \cap T\} \setminus \{\emptyset\}\)のみと交わることがである。
したがって、\(\{V'_l \cap T \vert l \in L^`\}\)は\(T\)上でローカルにファイナイト（有限）である。
したがって、\(T\)はパラコンパクトである。
3: 注
\(T \subseteq T'\)はクローズド（閉）である必要がある、なぜなら、そうでなかったら、\(T'\)のあるオープンカバー（開被覆）を\(\{U'_J \vert j \in J\} \cup \{T' \setminus T\}\)として構築できないことになり、\(\{U'_J \vert j \in J\} \cup \{U'_m \vert m \in M\}\)のように構築する必要があることになる、しかし、そのあるローカルにファイナイト（有限）リファインメント\(\{V'_l \vert l \in L\}\)を取ると、\(\{V'_l \cap T \vert l \in L\}\)は\(\{U_j \vert j \in J\}\)のあるリファインメントであるとは保証されないことになる、なぜなら、それは、ある\(m \in M\)に対して、\(V'_l \cap T \subseteq V'_l \subseteq U'_m\)かもしれない、そして、\(V'_l \cap T \subseteq U'_m \cap T\)は、\(U'_m \cap T \in \{U_j \vert j \in J\}\)を含意しないことになる。
