パラコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、パラコンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）な任意のセット（集合）に対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のパラコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(= \{\text{ 全てのパラコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(T\)はレギュラー（正則）であることを見る; ステップ2: \(T\)はノーマル（正規）であることを見る。
ステップ1:
ステップ1戦略: ステップ1-1: \(T\)の各\(1\)-ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であることを見る; ステップ1-2: 各\(t \notin C\)に対して、\(T\)のあるオープンカバー（開被覆）\(\{U_c \vert c \in C\} \cup \{T \setminus C\}\)、ここで、\(U_{t, c} \cap U_c = \emptyset\)、ここで、\(U_{t, c}\)は\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）、を取り、あるローカルにファイナイト（有限）リファインメント\(\{V_l \vert l \in L_1\} \cup \{V_l \vert l \in L_2\}\)、ここで、\(V_l \subseteq U_c\)、\(l \in L_1\)に対して、および\(V_l \subseteq T \setminus C\)、\(l \in L_2\)に対して、を取る; ステップ1-3: \(V_C := \cup_{l \in L_1} V_l\)は\(C\)を包含することを見る; ステップ1-4: \(t \in T \setminus \overline{V_C}\)であることを見る。
ステップ1-1:
\(T\)の各\(1\)-ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって。
ステップ1-2:
\(t \in T\)を任意のものとしよう。
\(C \subseteq T\)を、以下を満たす任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、つまり、\(t \notin C\)、としよう。
各\(c \in C\)に対して、以下を満たす、\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t, c} \subseteq T\)および\(c\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_c \subseteq T\)、つまり、\(U_{t, c} \cap U_c = \emptyset\)、がある、なぜなら、\(T\)はハウスドルフである。
\(\{U_c \vert c \in C\} \cup \{T \setminus C\}\)は\(T\)のあるオープンカバー（開被覆）である、なぜなら、各\(t \in T\)に対して、\(t \in C\)または\(t \in T \setminus C\)、そして、\(t \in C\)である時は、\(t \in U_t\)、そして、\(t \in T \setminus C\)である時は、\(t \in T \setminus C\)。
\(\{U_c \vert c \in C\} \cup \{T \setminus C\}\)のあるローカルにファイナイト（有限）リファインメント\(\{V_l \vert l \in L_1\} \cup \{V_l \vert l \in L_2\}\)、ここで、\(V_l \subseteq U_c\)、各\(l \in L_1\)に対して、および\(V_l \subseteq T \setminus C\)、各\(l \in L_2\)に対して、がある: それは、当該ローカルにファイナイト（有限）リファインメントの、\(V_l \subseteq U_c\)を満たす各\(V_l\)が\(L_1\)内に入れられその他のものたちが\(L_2\)内に入れられたパーティションである。
ステップ1-3:
\(V_C := \cup_{l \in L_1} V_l\)を定義しよう。
\(C \subseteq V_C\)、なぜなら、各\(c \in C\)に対して、\(c \in V_l\)、ある\(l \in L_1 \cup L_2\)に対して、しかし、もしも、\(l \in L_2\)である場合、\(c \in V_l \subseteq T \setminus C\)、\(c \in C\)に反する矛盾、したがって、\(l \in L_1\)、したがって、\(c \in \cup_{l \in L_1} V_l\)。
ステップ1-4:
\(\overline{V_C} = \overline{\cup_{l \in L_1} V_l} = \cup_{l \in L_1} \overline{V_l}\)、任意のトポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）な任意のセット（集合）に対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
各\(l \in L_1\)に対して、\(t \notin \overline{V_l}\)、なぜなら、\(V_l \subseteq U_c\)、ある\(c \in C\)に対して、であるところ、\(t \in U_{t, c}\)、しかし、\(U_c \subseteq T \setminus U_{t, c}\)、したがって、\(V_l \subseteq U_c \subseteq T \setminus U_{t, c}\)、したがって、\(\overline{V_l} \subseteq T \setminus U_{t, c}\)、したがって、\(t \notin T \setminus U_{t, c}\)であるから、\(t \notin \overline{V_l}\)。
したがって、\(t \notin \cup_{l \in L_1} \overline{V_l} = \overline{V_C}\)。
したがって、\(t \in T \setminus \overline{V_C}\)。
\(T \setminus \overline{V_C}\)は\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\((T \setminus \overline{V_C}) \cap V_C = \emptyset\)。
したがって、\(T\)はレギュラー（正則）である。
ステップ2:
ステップ2戦略: ステップ2-1: 各\(C_1 \cap C_2 = \emptyset\)に対して、\(T\)のあるオープンカバー（開被覆）\(\{U_{c_2} \vert c_2 \in C_2\} \cup \{T \setminus C_2\}\)、ここで、\(U_{c_2} \cap U_{C_1, c_2} = \emptyset\)、ここで、\(U_{C_1, c_2}\)は\(C_1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）、を取る; ステップ2-2: あるローカルにファイナイト（有限）リファインメント\(\{V_l \vert l \in L_1\} \cup \{V_l \vert l \in L_2\}\)、ここで、\(V_l \subseteq U_{c_2}\)、\(l \in L_1\)に対して、および\(V_l \subseteq T \setminus C_2\)、\(l \in L_2\)に対して、を取る; ステップ2-3: \(U_{C_2} := \cup_{l \in L_1} V_l\)は\(C_2\)をカバーすることを見る; ステップ2-4: \(C_1 \subseteq T \setminus \overline{V_{C_2}}\)であることを見る。
ステップ2-1:
\(C_1, C_2 \subseteq T\)を、以下を満たす任意のクローズドサブセット（閉部分集合）たち、つまり、\(C_1 \cap C_2 = \emptyset\)、としよう。
\(c_2 \in C_2\)を任意のものとしよう。
以下を満たす、\(c_2\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{c_2} \subseteq T\)および\(C_1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{C_1, c_2} \subseteq T\)、つまり、\(U_{c_2} \cap U_{C_1, c_2} = \emptyset\)、がある、ステップ1によって。
\(\{U_{c_2} \vert c_2 \in C_2\} \cup \{T \setminus C_2\}\)は\(T\)のあるオープンカバー（開被覆）である、なぜなら、各\(t \in T\)に対して、\(t \in C_2\)または\(t \in T \setminus C_2\)、そして、\(t \in C_2\)である時は、\(t \in U_t\)、そして、\(t \in T \setminus C_2\)である時は、\(t \in T \setminus C_2\)。
ステップ2-2:
あるローカルにファイナイト（有限）リファインメント\(\{V_l \vert l \in L_1\} \cup \{V_l \vert l \in L_2\}\)、ここで、\(V_l \subseteq U_{c_2}\)、各\(l \in L_1\)に対して、および\(V_l \subseteq T \setminus C_2\)、各\(l \in L_2\)に対して、がある: それは、当該リファインメントの、ある\(U_{c_2}\)に対して\(V_l \subseteq U_{c_2}\)を満たす各\(V_l\)が\(L_1\)内に入れられその他のものたちが\(L_2\)内に入れられたパーティションである。
ステップ2-3:
\(U_{C_2} := \cup_{l \in L_1} V_l\)を定義しよう。
\(C_2 \subseteq U_{C_2}\)、なぜなら、各\(c_2 \in C_2\)に対して、\(c_2 \in V_l\)、ある\(l \in L_1 \cup L_2\)に対して、しかし、もしも、\(l \in L_2\)であったら、\(V_l \subseteq T \setminus C_2\)、したがって、\(c_2 \in V_l \subseteq T \setminus C_2\)、\(c_2 \in C_2\)に反する矛盾、したがって、\(l \in L_1\)、したがって、\(c_2 \in \cup_{l \in L_1} V_l = U_{C_2}\)。
ステップ2-4:
\(\overline{U_{C_2}} = \overline{\cup_{l \in L_1} V_l} = \cup_{l \in L_1} \overline{V_l}\)、任意のトポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）な任意のセット（集合）に対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
各\(l \in L_1\)に対して、\(V_l \subseteq U_{c_2}\)、ある\(c_2 \in C_2\)に対して、しかし、\(U_{c_2} \subseteq T \setminus U_{C_1, c_2}\)、したがって、\(V_l \subseteq U_{c_2} \subseteq T \setminus U_{C_1, c_2}\)、したがって、\(\overline{V_l} \subseteq T \setminus U_{C_1, c_2} \subseteq T \setminus C_1\)。
したがって、\(\overline{U_{C_2}} = \cup_{l \in L_1} \overline{V_l} \subseteq T \setminus C_1\)。
したがって、\(C_1 \subseteq T \setminus \overline{U_{C_2}}\)。
\(T \setminus \overline{U_{C_2}}\)は\(C_1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\((T \setminus \overline{V_{C_2}}) \cap V_{C_2} = \emptyset\)。
\(T\)の各\(1\)-ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であることは既に知っているから、\(T\)はノーマル（正規）である。
