トポロジカルスペース（空間）およびスペース（空間）からリング（環）またはモジュール（加群）の中へのマップ（写像）たちのセット（集合）で非ゼロのプリイメージ（前像）たちのセット（集合）がローカルにファイナイト（有限）であるものに対して、マップ（写像）たちの合計のサポートはマップ（写像）たちのサポートたちのユニオン（和集合）内に包含されていることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および当該スペース（空間）から任意のリング（環）またはモジュール（加群）の中へのマップ（写像）たちの任意のセット（集合）で非ゼロのプリイメージ（前像）たちのセット（集合）がローカルにファイナイト（有限）であるものに対して、当該マップ（写像）たちの合計のサポートは当該マップ（写像）たちのサポートたちのユニオン（和集合）内に包含されているという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(= \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\} \cup \{\text{ 全てのモジュール（加群）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可能）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{f_j: T \to S \vert j \in J\}\): で、\(\{{f_j}^{-1} (S \setminus \{0\}) \vert j \in J\}\)がローカルにファイナイト（有限）であるもの
\(\sum_{j \in J} f_j\): \(: T \to S, t \mapsto \sum_{j \in J^`_t} f_j (t) \text{ 、以下を満たす任意の } J^`_t \in \{J \text{ の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たち }\} \text{ 、つまり、 } \forall j \in J \setminus J^`_t (f_j (t) = 0) \text{ 、に対して }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(Supp (\sum_{j \in J} f_j) \subseteq \cup_{j \in J} Supp (f_j)\)
//
2: 注
\(\{{f_j}^{-1} (S \setminus \{0\}) \vert j \in J\}\)がローカルにファイナイト（有限）であることは、各\(t \in T\)に対して、以下を満たすあるファイナイト（有限）\(J^`_t \subseteq J\)、つまり、各\(j \in J \setminus J^`_t\)に対して、\(f_j (t) = 0\)、があることを含意する、なぜなら、\(t\)の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）\(N_t\)、つまり、以下を満たすあるファイナイト（有限）\(J^`_t \subseteq J\)、つまり、各\(j \in J \setminus J^`_t\)に対して、\(N_t \cap {f_j}^{-1} (S \setminus \{0\}) = \emptyset\)、がある、がある、すると、\(f_j (t) = 0\)、なぜなら、そうでなければ、\(t \in N_t \cap {f_j}^{-1} (S \setminus \{0\})\)、矛盾。
そして、複数のそうした\(J^`_t\)たちがあり得るところ、\(\sum_{j \in J^`_t} f_j (t)\)は\(J^`_t\)の選択に依存しない、なぜなら、任意の\(J^`_t\)は、\(f_j (t) \neq 0\)を満たす全ての\(j\)たちを包含する必要があり、任意の他の\(j\)たちを追加することは結果に影響しない: 各\(j \in J^`\)に対して\(f_j (t) \neq 0\)である\(J^`\)を取ることが自然ではある。
したがって、\(\sum_{j \in J} f_j\)の定義は妥当である。
\(\{Supp (f_j) \vert j \in J\}\)がローカルにファイナイト（有限）であるというコンディションは、\(\{{f_j}^{-1} (S \setminus \{0\}) \vert j \in J\}\)がローカルにファイナイト（有限）であるための十分条件である、なぜなら、\({f_j}^{-1} (S \setminus \{0\}) \subseteq Supp (f_j)\)であるから、もしも、\(N_t\)が何らかファイナイト（有限）数\(Supp (f_j)\)たちだけに交わる場合、\(N_t\)は対応するファイナイト（有限）数\({f_j}^{-1} (S \setminus \{0\})\)たちだけと交わることができる: もしも、\(N_t\)がある\(Supp (f_j)\)と交わらない場合、\(N_t\)は対応する\({f_j}^{-1} (S \setminus \{0\})\)と交わらない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \((\sum_{j \in J} f_j)^{-1} (S \setminus \{0\}) \subseteq \cup_{j \in J} {f_j}^{-1} (S \setminus \{0\})\)であることを見る; ステップ2: \(\overline{\cup_{j \in J} {f_j}^{-1} (S \setminus \{0\})} = \cup_{j \in J} \overline{{f_j}^{-1} (S \setminus \{0\})}\)であることを見る。
ステップ1:
\(Supp (\sum_{j \in J} f_j) = \overline{(\sum_{j \in J} f_j)^{-1} (S \setminus \{0\})}\)、サポートの定義によって。
\(Supp (f_j) = \overline{{f_j}^{-1} (S \setminus \{0\})}\)、サポートの定義によって。
\((\sum_{j \in J} f_j)^{-1} (S \setminus \{0\}) \subseteq \cup_{j \in J} {f_j}^{-1} (S \setminus \{0\})\)であることを見よう。
各\(t \in (\sum_{j \in J} f_j)^{-1} (S \setminus \{0\})\)に対して、\((\sum_{j \in J} f_j) (t) \in S \setminus \{0\}\)、それが含意するのは、\(f_j (t) \in S \setminus \{0\}\)、ある\(j \in J\)に対して、したがって、\(t \in {f_j}^{-1} (S \setminus \{0\})\)、したがって、\(t \in \cup_{j \in J} {f_j}^{-1} (S \setminus \{0\})\)。
ステップ2:
したがって、\(Supp (\sum_{j \in J} f_j) = \overline{(\sum_{j \in J} f_j)^{-1} (S \setminus \{0\})} \subseteq \overline{\cup_{j \in J} {f_j}^{-1} (S \setminus \{0\})} = \cup_{j \in J} \overline{{f_j}^{-1} (S \setminus \{0\})}\)、任意のトポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）な任意のセット（集合）に対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、\(= \cup_{j \in J} Supp (f_j)\)。
