トポロジカルスペース（空間）およびスペース（空間）のオープンカバー（開被覆）に対して、もしも、オープンカバー（開被覆）のローカルにファイナイト（有限）リファインメントおよびリファインメントにに従属する、ユニティのパーティションがある場合、元のカバー（被覆）に従属する、ユニティーのパーティションがあることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のオープンカバー（開被覆）のリファインメントの定義を知っている。
- 読者は、ユニティのパーティション、トポロジカルスペース（空間）のオープンカバー（開被覆）に従属する、の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および当該スペース（空間）から任意のリング（環）またはモジュール（加群）の中へのマップ（写像）たちの任意のセット（集合）で非ゼロのプリイメージ（前像）たちのセット（集合）がローカルにファイナイト（有限）であるものに対して、当該マップ（写像）たちの合計のサポートは当該マップ（写像）たちのサポートたちのユニオン（和集合）内に包含されているという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のディスジョイント（互いに素な）サブセット（部分集合）たちの任意のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）たちはディスジョイント（互いに素）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および当該スペース（空間）の任意のオープンカバー（開被覆）に対して、もしも、当該オープンカバー（開被覆）の任意のローカルにファイナイト（有限）リファインメントおよび当該リファインメントにに従属する任意の、ユニティのパーティションがある場合、元のカバー（被覆）に従属するある、ユニティーのパーティションがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(= \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{U_j \vert j \in J\}\): \(\in \{T \text{ の全てのオープンカバー（開被覆）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists \{V_l \vert l \in L\} \in \{\{U_j \vert j \in J\} \text{ の全てのローカルにファイナイト（有限）リファインメントたち }\}, \exists \{\mu_l \vert l \in L\} \in \{\{V_l \vert l \in L\} \text{ に従属する、全てのユニティーのパーティションたち }\}\)
\(\implies\)
\(\exists \{\rho \vert j \in J\} \in \{\{U_j \vert j \in J\} \text{ に従属する、全てのユニティーのパーティションたち }\}\)
//
2: 注
\(\{\mu_l \vert l \in L\}\)が、\(\{V_l \vert l \in L\}\)に従属する、あるユニティーのパーティションであるために、\(\{Supp (\mu_l) \vert l \in L\}\)がローカルにファイナイト（有限）であることがチェックされる必要はない、なぜなら、\(Supp (\mu_l) \subseteq V_l\)であるから、\(\{Supp (\mu_l) \vert l \in L\}\)は不可避にローカルにファイナイト（有限）である、\(\{V_l \vert l \in L\}\)がローカルにファイナイト（有限）であるから: 各\(t \in T\)に対して、\(t\)の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）\(N_t\)、つまり、\(N_t\)は何らかファイナイト（有限）数\(V_l\)たちだけと交わる、がある、すると、\(N_t\)は対応する\(Supp (\mu_l)\)たちだけと交わることができる、なぜなら、もしも、\(N_t \cap V_l = \emptyset\)である場合、\(N_t \cap Supp (\mu_l) = \emptyset\)。
一部の人々によると、'あるオープンカバー（開被覆）に従属するある、ユニティーのパーティションの存在'が主張される時、それは、当該オープンカバー（開被覆）のあるローカルにファイナイト（有限）リファインメントおよび当該リファインメントに従属するある、ユニティーのパーティションがあるという意味においてである、しかし、当該主張が成立する時は、本当に、ユニティのパーティション、トポロジカルスペース（空間）のオープンカバー（開被覆）に従属する、の私たちの定義による、当該カバー（被覆）に従属するあるユニティーのパーティションがある、本命題によって。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 以下を満たす任意のマップ（写像）\(f: L \to J\)、つまり、\(V_l \subseteq U_{f (l)}\)、を取る; ステップ2: \(\rho_j: T \to \mathbb{R} = \sum_{l \in f^{-1} (\{j\})} \mu_l\)を取る; ステップ3: \(\rho_j\)はコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ4: \(0 \le \rho_j \le 1\)であることを見る; ステップ5: \(Supp (\rho_j) \subseteq U_j\)であることを見る; ステップ6: \(\{Supp (\rho_j) \vert j \in J\}\)はローカルにファイナイト（有限）であることを見る; ステップ7: \(\sum_{j \in J} \rho_j = 1\)であることを見る。
ステップ1:
各\(l \in L\)に対して、\(V_l \subseteq U_j\)、ある\(j \in J\)に対して、したがって、あるマップ（写像）\(f': L \to Pow (J), l \mapsto \{j \in J \vert V_l \subseteq U_j\}\)、ここで、各\(f' (l)\)は非空、がある。
チョイス（選択）公理によって、以下を満たすあるマップ（写像）\(f: L \to J\)、つまり、各\(l \in L\)に対して、\(f (l) \in f' (l)\)、がある、それが意味するのは、\(V_l \subseteq U_{f (l)}\)。
ステップ2:
各\(j \in J\)に対して、\(\rho_j: T \to \mathbb{R} = \sum_{l \in f^{-1} (\{j\})} \mu_l\)を取ろう。
それは妥当である、なぜなら、\(\{Supp (\mu_l) \vert l \in L\}\)はローカルにファイナイト（有限）であり、\(\{Supp (\mu_l) \vert l \in f^{-1} (\{j\})\}\)はローカルにファイナイト（有限）である、なおさら: 任意のトポロジカルスペース（空間）および当該スペース（空間）から任意のリング（環）またはモジュール（加群）の中へのマップ（写像）たちの任意のセット（集合）で非ゼロのプリイメージ（前像）たちのセット（集合）がローカルにファイナイト（有限）であるものに対して、当該マップ（写像）たちの合計のサポートは当該マップ（写像）たちのサポートたちのユニオン（和集合）内に包含されているという命題に対する"注"を参照のこと。
ステップ3:
各\(j \in J\)に対して、\(\rho_j\)はコンティニュアス（連続）であることを見よう。
各\(t \in T\)に対して、\(t\)の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）\(N_t \subseteq T\)、つまり、以下を満たすあるファイナイト（有限）\(L^`_t \subseteq L\)、つまり、各\(l \in L \setminus L^`_t\)に対して、\(N_t \cap Supp (\mu_l) = \emptyset\)、がある、がある、すると、\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T\)、つまり、\(U_t \subseteq N_t\)、があり、\(U_t \cap Supp (\mu_l) = \emptyset\)、各\(l \in L \setminus L^`_t\)に対して。
\(\rho_j \vert_{U_t} = \sum_{l \in f^{-1} (\{j\}) \cap L^`_t} \mu_l \vert_{U_t}\)、なぜなら、\(l \notin L^`_t\)を満たす各\(l \in f^{-1} (\{j\})\)に対して、\(\mu_l \vert_{U_t} = 0\)、なぜなら、\(U_t \cap Supp (\mu_l) = \emptyset\)、それが意味するのは、各\(t' \in U_t\)に対して、\(t' \notin Supp (\mu_l)\)、したがって、\(t' \notin {\mu_l}^{-1} (\mathbb{R} \setminus \{0\})\)、それが意味するのは、\(\mu_l (t') = 0\)。
したがって、\(\rho_j \vert_{U_t}\)はコンティニュアス（連続）である、\(\mathbb{R}\)の中への何らかのコンティニュアスマップ（連続写像）たちのあるファイナイト（有限）合計として: 各\(\mu_l \vert_{U_t}\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
\(\{U_t \vert t \in T\}\)は\(T\)のあるオープンカバー（開被覆）である。
したがって、\(\rho_j\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題によって。
ステップ4:
\(0 \le \rho_j\)、なぜなら、\(0 \le \mu_l\)、各\(l \in f^{-1} (\{j\})\)に対して。
\(\rho_j \le 1\)、なぜなら、\(\sum_{l \in f^{-1} (\{j\})} \mu_l \le \sum_{l \in L} \mu_l = 1\)。
ステップ5:
各\(j \in J\)に対して、\(Supp (\rho_j) \subseteq U_j\)であることを見よう。
\(Supp (\rho_j) \subseteq \cup_{l \in f^{-1} (\{j\})} Supp (\mu_l)\)、任意のトポロジカルスペース（空間）および当該スペース（空間）から任意のリング（環）またはモジュール（加群）の中へのマップ（写像）たちの任意のセット（集合）で非ゼロのプリイメージ（前像）たちのセット（集合）がローカルにファイナイト（有限）であるものに対して、当該マップ（写像）たちの合計のサポートは当該マップ（写像）たちのサポートたちのユニオン（和集合）内に包含されているという命題によって。
\(\subseteq \cup_{l \in f^{-1} (\{j\})} V_l \subseteq \cup_{l \in f^{-1} (\{j\})} U_j = U_j\)。
したがって、\(Supp (\rho_j) \subseteq U_j\)。
ステップ6:
\(\{Supp (\rho_j) \vert j \in J\}\)はローカルにファイナイト（有限）であることを見よう。
\(t \in T\)を任意のものとしよう。
\(t\)の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）\(N_t \subseteq T\)、つまり、以下を満たすあるファイナイト（有限）\(L^`_t \subseteq L\)、つまり、各\(l \in L \setminus L^`_t\)に対して、\(N_t \cap Supp (\mu_l) = \emptyset\)、がある、がある。
\(f (L^`_t) \subseteq J\)はファイナイト（有限）である。
各\(j \in J \setminus f (L^`_t)\)に対して、各\(l \in f^{-1} (\{j\})\)に対して、\(l \notin L^`_t\)、なぜなら、もしも、\(l \in L^`_t\)であったら、\(j = f (l) \in f (L^`_t)\)、矛盾。
したがって、上記に見られたとおり、\(Supp (\rho_j) \subseteq \cup_{l \in f^{-1} (\{j\})} Supp (\mu_l)\)であるところ、各\(j \in J \setminus f (L^`_t)\)に対して、\(N_t \cap Supp (\rho_j) \subseteq N_t \cap \cup_{l \in f^{-1} (\{j\})} Supp (\mu_l) = \cup_{l \in f^{-1} (\{j\})} (N_t \cap Supp (\mu_l))\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、\(\cup_{l \in f^{-1} (\{j\})} \emptyset\)、なぜなら、\(l \in L \setminus L^`_t\)、\(= \emptyset\)。
したがって、\(N_t \cap Supp (\rho_j) = \emptyset\)、各\(j \in J \setminus f (L^`_t)\)に対して。
したがって、\(\{Supp (\rho_j) \vert j \in J\}\)はローカルにファイナイト（有限）である。
ステップ7:
\(\sum_{j \in J} \rho_j = 1\)であることを見よう。
\(\sum_{j \in J} \rho_j = \sum_{j \in J} \sum_{l \in f^{-1} (\{j\})} \mu_l\)。
\(= \sum_{l \in L} \mu_l\)、なぜなら、\(\sum_{j \in J} \sum_{l \in f^{-1} (\{j\})}\)の中で、各\(l \in L\)は1度だけ現われる、なぜなら、\(l \in f^{-1} (\{f (l)\})\)および\(l \notin f^{-1} (\{j\})\)、各\(j \neq f (l)\)に対して、なぜなら、\(f^{-1} (\{f (l)\}) \cap f^{-1} (\{j\}) = \emptyset\)、任意のディスジョイント（互いに素な）サブセット（部分集合）たちの任意のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）たちはディスジョイント（互いに素）であるという命題によって。
\(= 1\)。
