トポロジカルスペース（空間）たち間コンティニュアスマップ（連続写像）に対して、サブセット（部分集合）のインテリア（内部）のプリイメージ（前像）はサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）のインテリア（内部）内に包含されているが必ずしもそれに等しくないことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のインテリア（内部）の定義を知っている。
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、当該コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）のインテリア（内部）のプリイメージ（前像）は当該サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）のインテリア（内部）内に包含されているが必ずしもそれに等しくないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
\(S_2\): \(\subseteq T_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f^{-1} (Int (S_2)) \subseteq Int (f^{-1} (S_2))\)
\(\land\)
必ずしも、以下は成立しない、つまり、"\(f^{-1} (Int (S_2)) = Int (f^{-1} (S_2))\)"
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(t_1 \in f^{-1} (Int (S_2))\)に対して、\(t_1 \in Int (f^{-1} (S_2))\)であることを見る; ステップ2: "\(f^{-1} (Int (S_2)) = Int (f^{-1} (S_2))\)"が成立しないある例を見る。
ステップ1:
\(t_1 \in f^{-1} (Int (S_2))\)を任意のものとしよう。
\(f (t_1) \in Int (S_2)\)。
\(Int (S_2) \subseteq T_2\)はオープン（開）であるから、\(f (t_1)\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{f (t_1)} \subseteq T_2\)、つまり、\(U_{f (t_1)} \subseteq Int (S_2)\)、がある、オープン（開）であることのローカル基準によって。
\(t_1\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t_1} \subseteq T_1\)、つまり、\(f (U_{t_1}) \subseteq U_{f (t_1)}\)、がある、なぜなら、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。
\(f (U_{t_1}) \subseteq U_{f (t_1)} \subseteq Int (S_2) \subseteq S_2\)。
したがって、\(U_{t_1} \subseteq f^{-1} (S_2)\)。
それが意味するのは、\(U_{t_1} \subseteq Int (f^{-1} (S_2))\)、なぜなら、\(U_{t_1}\)はオープン（開）であり、当該インテリア（内部）は\(f^{-1} (S_2)\)内に包含される全てのオープンサブセット（開部分集合）たちのユニオン（和集合）であり、\(U_{t_1}\)はそうしたオープンサブセット（開部分集合）たちの内の1個である。
したがって、\(t_1 \in Int (f^{-1} (S_2))\)。
したがって、\(f^{-1} (Int (S_2)) \subseteq Int (f^{-1} (S_2))\)。
ステップ2:
"\(f^{-1} (Int (S_2)) = Int (f^{-1} (S_2))\)"が成立しないある例を見よう。
\(T_1 := \mathbb{R}\)および\(T_2 := \mathbb{R}\)、当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとして、\(f: T_1 \to T_2, t_1 \mapsto {t_1}^2\)、\(S_2 = [0, 1]\)としてしよう。
\(f\)はコンティニュアス（連続）であると、よく知られている。
\(Int (S_2) = (0, 1)\)および\(f^{-1} (Int (S_2)) = (-1, 0) \cup (0, 1)\)。
しかし、\(f^{-1} (S_2) = [-1, 1]\)および\(Int (f^{-1} (S_2)) = (-1, 1)\)。
したがって、\(f^{-1} (Int (S_2)) = (-1, 0) \cup (0, 1) \neq (-1, 1) = Int (f^{-1} (S_2))\)。
