トポロジカルスペース（空間）たち間コンティニュアスマップ（連続写像）に対して、サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）のバウンダリー（境界）はサブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）のプリイメージ（前像）内に包含されているが必ずしもそれに等しくないことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該スペース（空間）は、当該サブセット（部分集合）のインテリア（内部）、当該サブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のコンプリメント（補集合）のディスジョイント（互いに素）ユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は第1サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）マイナス第2サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、当該コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）のクロージャー（閉包）は、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のプリイメージ（前像）に包含されるが、必ずしもそれに等しくないという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、当該コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）のインテリア（内部）のプリイメージ（前像）は当該サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）のインテリア（内部）内に包含されているが必ずしもそれに等しくないという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、当該コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）のバウンダリー（境界）は当該サブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）のプリイメージ（前像）内に包含されているが必ずしもそれに等しくないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
\(S_2\): \(\subseteq T_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(Bou (f^{-1} (S_2)) \subseteq f^{-1} (Bou (S_2))\)
\(\land\)
必ずしも、以下は成立しない、つまり、"\(Bou (f^{-1} (S_2)) = f^{-1} (Bou (S_2))\)"
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(Bou (f^{-1} (S_2)) = \overline{f^{-1} (S_2)} \setminus Int (f^{-1} (S_2))\)および\(Bou (S_2) = \overline{S_2} \setminus Int (S_2)\)であることを見る; ステップ2: 任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は第1サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）マイナス第2サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、当該コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）のクロージャー（閉包）は、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のプリイメージ（前像）に包含されるが、必ずしもそれに等しくないという命題、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、当該コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）のインテリア（内部）のプリイメージ（前像）は当該サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）のインテリア（内部）内に包含されているが必ずしもそれに等しくないという命題を適用する; ステップ3: "\(Bou (f^{-1} (S_2)) = f^{-1} (Bou (S_2))\)"が成立しないある例を見る。
ステップ1:
\(Bou (f^{-1} (S_2)) = \overline{f^{-1} (S_2)} \setminus Int (f^{-1} (S_2))\)、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該スペース（空間）は、当該サブセット（部分集合）のインテリア（内部）、当該サブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のコンプリメント（補集合）のディスジョイント（互いに素）ユニオン（和集合）であるという命題によって。
\(Bou (S_2) = \overline{S_2} \setminus Int (S_2)\)、同様に。
ステップ2:
\(f^{-1} (Bou (S_2)) = f^{-1} (\overline{S_2} \setminus Int (S_2)) = f^{-1} (\overline{S_2}) \setminus f^{-1} (Int (S_2))\)、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は第1サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）マイナス第2サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題によって。
\(\overline{f^{-1} (S_2)} \subseteq f^{-1} (\overline{S_2})\)、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、当該コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）のクロージャー（閉包）は、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のプリイメージ（前像）に包含されるが、必ずしもそれに等しくないという命題によって。
\(f^{-1} (Int (S_2)) \subseteq Int (f^{-1} (S_2))\)、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、当該コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）のインテリア（内部）のプリイメージ（前像）は当該サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）のインテリア（内部）内に包含されているが必ずしもそれに等しくないという命題によって。
したがって、\(\overline{f^{-1} (S_2)} \setminus Int (f^{-1} (S_2)) \subseteq f^{-1} (\overline{S_2}) \setminus f^{-1} (Int (S_2))\)。
しかし、その左辺は、\(Bou (f^{-1} (S_2))\)である、ステップ1によって、その一方、その右辺は、\(f^{-1} (Bou (S_2))\)、上記に見られたとおり。
したがって、\(Bou (f^{-1} (S_2)) \subseteq f^{-1} (Bou (S_2))\)。
ステップ3:
"\(Bou (f^{-1} (S_2)) = f^{-1} (Bou (S_2))\)"が成立しないある例を見よう。
\(T_1 := \mathbb{R}\)および\(T_2 := \mathbb{R}\)、当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち、\(f: T_1 \to T_2, t_1 \mapsto {t_1}^2\)、\(S_2 = [0, 1]\)トポロジカルしよう。
\(f\)はよく知られているとおりコンティニュアス（連続）である。
\(f^{-1} (S_2) = [-1, 1]\)および\(Bou (f^{-1} (S_2)) = \{-1, 1\}\)。
しかし、\(Bou (S_2) = \{0, 1\}\)および\(f^{-1} (Bou (S_2)) = \{-1, 0, 1\}\)。
したがって、\(Bou (f^{-1} (S_2)) = \{-1, 1\} \neq \{-1, 0, 1\} = f^{-1} (Bou (S_2))\)。
