\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）でカノニカル（正典）オーダリング（順序）を持つもの上のシーケンス（列）に対して、もしも、コンバージェンス（収束ポイント）が存在する場合、コンバージェンス（収束ポイント）はリミットインフェリア（下極限）およびリミットスピアリア（上極限）であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のシーケンス（列）のコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）上のシーケンス（列）のリミットスピアリア（上極限）の定義を知っている。
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）上のシーケンス（列）のリミットインフェリア（下極限）の定義を知っている。
- 読者は、リアルナンバー（実数）たちセット（集合）上の任意の値バウンデッド（有界）シーケンス（列）に対して、当該シーケンス（列）のリミットインフェリア（下極限）およびリミットスピアリア（上極限）は存在するという命題を認めている。
- 読者は、任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）、任意のサブセット（部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）に等しいかそれより小さく、もしも、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）に等しいかそれより大きいという命題を認めている。
- 読者は、任意のリアルナンバー（実数）は別の任意のリアルナンバー（実数）以下である、もしも、それは、後者プラス任意のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）以下である場合、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）でカノニカル（正典）オーダリング（順序）を持つもの上の任意のシーケンス（列）に対して、もしも、当該シーケンス（列）のコンバージェンス（収束ポイント）が存在する場合、当該コンバージェンス（収束ポイント）はリミットインフェリア（下極限）およびリミットスピアリア（上極限）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\subseteq \mathbb{N}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(J \neq \emptyset\)
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間） }\)で、カノニカル（正典）オーダリング（順序）\(\lt\)を持つもの
\(s\): \(\in \{\text{ 全てのシーケンス（列）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(Dom (s) = J\)および\(Ran (s) \subseteq \mathbb{R}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists lim s\)
\(\implies\)
\(\exists lim inf s \land \exists lim sup s \land lim s = lim inf s = lim sup s\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(J\)はファイナイト（有限）であるケースに対処し、それ以降は、そうでないと仮定する; ステップ2: \(s\)は値バウンデッド（有界）であり\(lim inf s\)および\(lim sup s\)は存在することを見る; ステップ3: 以下を満たすある\(N\)、つまり、各\(N \lt m\)に対して、\(lim s - \epsilon \le Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \le lim s + \epsilon\)、があることを見、\(lim s - \epsilon \le lim inf s \le lim s + \epsilon\)であることを見る; ステップ4: 以下を満たすある\(N\)、つまり、各\(N \lt m\)に対して、\(lim s - \epsilon \le Sup (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \le lim s + \epsilon\)、があることを見、\(lim s - \epsilon \le lim sup s \le lim s + \epsilon\)であることを見る。
ステップ1:
\(\vert J \vert = n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)であると仮定しよう。
\(lim s = s (J_n)\)は、不可避に存在する、そして、\(lim inf s = s (J_n)\)および\(lim sup s = s (J_n)\)は存在する、そして、\(lim s = lim inf s = lims sup s\)。
そうでないと仮定しよう。
ステップ2:
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
以下を満たすある\(N \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(N \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(dist (lim s, s (J_n)) \lt \epsilon\)、がある、それが意味するのは、\(lim s - \epsilon \lt s (J_n) \lt lim s + \epsilon\)。
したがって、\(s\)は値バウンデッド（有界）である、なぜなら、各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(Min (\{Min (\{s (J_1), ..., s (J_N)\}), lim s - \epsilon\}) \le s (J_n) \le Max (\{Max (\{s (J_1), ..., s (J_N)\}), lim s + \epsilon\})\)。
\(lim inf s\)および\(lim sup s\)は存在する、リアルナンバー（実数）たちセット（集合）上の任意の値バウンデッド（有界）シーケンス（列）に対して、当該シーケンス（列）のリミットインフェリア（下極限）およびリミットスピアリア（上極限）は存在するという命題によって。
ステップ3:
\(N \lt m\)を満たす各\(m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(lim s - \epsilon \le Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \le lim s + \epsilon\)、なぜなら、\(N \lt m \le n\)であるから、\(lim s - \epsilon \le s (J_n)\)、したがって、\(lim s - \epsilon \in Lb (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\})\)、そして、\(Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \le s (J_n) \le lim s + \epsilon\)。
すると、\(lim s - \epsilon \le Sup (\{Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\}) \le lim s + \epsilon\)、なぜなら、\(Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\})\)は\(m\)に関して非減少である、任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）、任意のサブセット（部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）に等しいかそれより小さく、もしも、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）に等しいかそれより大きいという命題によって、から、\(m \lt N\)要素たちはサプリマム（上限）に寄与しない。
それが意味することは、\(lim s - \epsilon \le lim inf s \le lim s + \epsilon\)。
\(lim s \le lim inf s + \epsilon\)、したがって、\(lim s \le lim inf s\)、任意のリアルナンバー（実数）は別の任意のリアルナンバー（実数）以下である、もしも、それは、後者プラス任意のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）以下である場合、という命題によって。
\(lim inf s \le lim s\)、任意のリアルナンバー（実数）は別の任意のリアルナンバー（実数）以下である、もしも、それは、後者プラス任意のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）以下である場合、という命題によって。
したがって、\(lim s \le lim inf s \le lim s\)、それが含意するのは、\(lim s = lim inf s\)。
ステップ4:
\(N \lt m\)を満たす各\(m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(lim s - \epsilon \le Sup (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \le lim s + \epsilon\)、なぜなら、\(N \lt m \le n\)であるから、\(s (J_n) \le lim s + \epsilon\)、したがって、\(lim s + \epsilon \in Ub (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\})\)、そして、\(lim s - \epsilon \le s (J_n) \le Sup (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\})\)。
すると、\(lim s - \epsilon \le Inf (\{Sup (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\}) \le lim s + \epsilon\)、なぜなら、\(Sup (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\})\)は\(m\)に関して非増加である、任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）、任意のサブセット（部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）に等しいかそれより小さく、もしも、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）に等しいかそれより大きいという命題によって、から、\(m \lt N\)要素たちはインフィマム（下限）に寄与しない。
それが意味するのは、\(lim s - \epsilon \le lim sup s \le lim s + \epsilon\)。
\(lim s \le lim sup s + \epsilon\)、したがって、\(lim s \le lim sup s\)、任意のリアルナンバー（実数）は別の任意のリアルナンバー（実数）以下である、もしも、それは、後者プラス任意のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）以下である場合、という命題によって。
\(lim sup s \le lim s\)、任意のリアルナンバー（実数）は別の任意のリアルナンバー（実数）以下である、もしも、それは、後者プラス任意のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）以下である場合、という命題によって。
したがって、\(lim s \le lim sup s \le lim s\)、それが含意するのは、\(lim s = lim sup s\)。
