コントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間）からパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の中への\(2\)個のコンティニュアスマップ（連続写像）たちはホモトピックであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、パスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ホモトピックマップ（写像）たちの定義を知っている。
- 読者は、任意のコントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間）から任意のトポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアスマップ（連続写像）はあるコンスタントマップ（写像）へホモトピックであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の中への任意の\(2\)個のコンスタントマップ（写像）たちはホモトピックであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのセット（集合）上において、ホモトピックであることはイクイバレンスリレーション（同値関係）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間）から任意のパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の中への任意の\(2\)個のコンティニュアスマップ（連続写像）たちはホモトピックであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのコントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
\(f'\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \simeq f'\)、ここで、\(\simeq\)は、ホモトピックであることを意味する
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: take a constant map, \(c_{p_2}\), that is homotopic to \(f\) and a constant map, \(c_{p'_2}\), that is homotopic to \(f'\); Step 2: see that \(c_{p_2}\) and \(c_{p'_2}\) are homotopic; Step 3: see that \(f\) and \(f'\) are homotopic.
Step 1:
There is a constant map, \(c_{p_2}: T_1 \to T_2, t \mapsto p_2\), that is homotopic to \(f\), by the proposition that any continuous map from any contractible topological space into any topological space is homotopic to a constant map, so, \(f \simeq c_{p_2}\).
There is a constant map, \(c_{p'_2}: T_1 \to T_2, t \mapsto p'_2\), that is homotopic to \(f'\), by the proposition that any continuous map from any contractible topological space into any topological space is homotopic to a constant map, so, \(f' \simeq c_{p'_2}\).
Step 2:
\(c_{p_2}\) and \(c_{p'_2}\) are homotopic, by the proposition that any \(2\) constant maps from any topological space into any path-connected topological space are homotopic, so, \(c_{p_2} \simeq c_{p'_2}\).
Step 3:
As \(\simeq\) is an equivalence relation, by the proposition that on the set of the continuous maps between any topological spaces, being homotopic is an equivalence relation, \(f \simeq c_{p_2} \simeq c_{p'_2} \simeq f'\) implies that \(f \simeq f'\).
