コントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間）に対して、各コンスタントトポロジカルスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）はアイデンティティマップ（恒等写像）へホモトピックであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ホモトピックマップ（写像）たちの定義を知っている。
- 読者は、任意のコントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間）はパスコネクテッド（連結された）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の中への任意の\(2\)個のコンスタントマップ（写像）たちはホモトピックであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのセット（集合）上において、ホモトピックであることはイクイバレンスリレーション（同値関係）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間）に対して、各コンスタントトポロジカルスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）はアイデンティティマップ（恒等写像）へホモトピックであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのコントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall f: T \to T \in \{\text{ 全てのコンスタントマップ（写像）たち }\} (f \simeq id_T)\)
//
2: 注
コントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間）の定義は、\(id_T\)へホモトピックであるあるコンスタントマップ（写像）があることを要求するところ、本命題は、各コンスタントマップ（写像）は\(id_T\)へホモトピックであると主張する。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(T\) is path-connected; Step 2: take a constant map, \(c_{t'}\), such that \(id_T \simeq c_{t'}\), and see that for each constant map, \(c_{t''}\), \(c_{t'} \simeq c_{t''}\).
Step 1:
\(T\) is path-connected, by the proposition that any contractible topological space is path-connected.
Step 2:
There is a constant map, \(c_{t'}: T \to T, t \mapsto t'\), such that \(id_T \simeq c_{t'}\), by the definition of contractible topological space.
Let \(c_{t''}: T \to T, t \mapsto t''\) be any continuous map.
\(c_{t'} \simeq c_{t''}\), by the proposition that any \(2\) constant maps from any topological space into any path-connected topological space are homotopic.
\(id_T \simeq c_{t'} \simeq c_{t''}\) implies that \(id_T \simeq c_{t''}\), by the proposition that on the set of the continuous maps between any topological spaces, being homotopic is an equivalence relation.
