同一ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）を持つ\(2\)個のコンティニュアスマップ（連続写像）たちおよびドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）上のイクイバレンスリレーション（同値関係）たちに対して、もしも、各クラスがクラスの中へマップされマップ（写像）たちが複数ポイントたちクラスたちを包含するサブセット（部分集合）へレラティブ（相対的）にホモトピックである場合、クオシエント（商）スペース（空間）たち間のインデュースト（誘導された）マップ（写像）たちはサブセット（部分集合）のクオシエント（商）へレラティブ（相対的）にホモトピックであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）へレラティブ（相対的）にホモトピックなマップ（写像）たちの定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）上のイクイバレンスリレーション（同値関係）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）と任意のローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）のプロダクトからの任意のコンティニュアスマップ（連続写像）および第1スペース（空間）および当該コドメイン（余域）上の任意のイクイバレンスリレーション（同値関係）たちに対して、もしも、各第1スペース（空間）イクイバレンス（同値）クラスが任意のコドメイン（余域）イクイバレンス（同値）クラスの中へマップされる場合、当該クオシエント（商）スペース（空間）と第2スペース（空間）のプロダクトと当該クオシエント（商）スペース（空間）の間のインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の同一ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）を持つ任意の\(2\)個のコンティニュアスマップ（連続写像）たちおよび当該ドメイン（定義域）および当該コドメイン（余域）上の任意のイクイバレンスリレーション（同値関係）たちに対して、もしも、各イクイバレンス（同値）クラスがあるイクイバレンス（同値）クラスの中へマップされ当該マップ（写像）たちが全ての複数ポイントたちクラスたちを包含する任意のサブセット（部分集合）へレラティブ（相対的）にホモトピックである場合、当該クオシエント（商）スペース（空間）たち間のインデュースト（誘導された）マップ（写像）たちは当該サブセット（部分集合）のクオシエント（商）へレラティブ（相対的）にホモトピックであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(\in T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
\(f'\): \(\in T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
\(\sim_1\): \(\in \{T_1 \text{ 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)
\(\sim_2\): \(\in \{T_2 \text{ 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)
\(T_1 / \sim_1\): \(= \text{ 当該クオシエント（商）トポロジカルスペース（空間） }\)
\(T_2 / \sim_2\): \(= \text{ 当該クオシエント（商）トポロジカルスペース（空間） }\)
\(S_1\): \(\subseteq T_1\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\forall t_1 \in T_1 \setminus S_1 ([t_1]_1 = \{t_1\})\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\forall t_1, t'_1 \in T_1 \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } t_1 \sim_1 t'_1 (f (t_1) \sim_2 f (t'_1) \land f' (t_1) \sim_2 f' (t'_1))\)
\(\land\)
\(f \simeq f' rel S_1\)
)
\(\implies\)
\(\widetilde{f} \simeq \widetilde{f'} rel \{[s_1]_1 \vert s_1 \in S_1\} \subseteq T_1 / \sim_1\)、ここで、\(\widetilde{f}: T_1 / \sim_1 \to T_2 / \sim_2, [t_1]_1 \mapsto [f (t_1)]_2\)および\(\widetilde{f'}: T_1 / \sim_1 \to T_2 / \sim_2, [t_1]_1 \mapsto [f' (t_1)]_2\)
//
2: 注
\(\{[s_1]_1 \vert s_1 \in S_1\}\)は、表題および"ターゲットコンテキスト"内で、"サブセット（部分集合）のクオシエント（商）"と呼ばれているが、それは、本当にそうではない、なぜなら、"サブセット（部分集合）のクオシエント（商）"は\(S_1 / \sim_1\)であるが、\(\{[s_1]_1 \vert s_1 \in S_1\}\)は\(T_1 / \sim_1\)のあるサブセット（部分集合）である、しかし、いずれにせよ、\(\{[s_1]_1 \vert s_1 \in S_1\}\)と\(S_1 / \sim_1\)はカノニカルに'セット（集合）たち - マップ（写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である。
本命題が適用されるある典型的ケースは、あるアジャンクションスペース（空間）\(T_1 = T_{1, 1} + T_{1, 2}\)および\(T_1 / \sim_1 = T_{1, 2} \cup_g T_{1, 1}\)で、\(g: S \to T_{1, 2}\)および\(S_1 = S \cup T_{1, 2}\)。
"\(rel S_1\)"が要求される理由は、そうでなかったら、"証明"内において、\(F\)は必ずしも\(\widetilde{F}\)を誘導しないことになる。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(\widetilde{f}\) and \(\widetilde{f'}\) are well-defined; Step 2: take any homotopy between \(f\) and \(f'\) relative to \(S_1\), \(F\); Step 3: see that \(\widetilde{F}: (T_1 / \sim_1) \times I \to T_2 / \sim_2\) is induced from \(F\); Step 4: see that \(\widetilde{F}\) is a homotopy between \(\widetilde{f}\) and \(\widetilde{f'}\) relative to \(\{[s_1]_1 \vert s_1 \in S_1\}\).
Step 1:
Let us see that \(\widetilde{f}\) and \(\widetilde{f'}\) are well-defined.
Let \(t_1, t'_1 \in T_1\) be any such that \([t_1]_1 = [t'_1]_1\).
That means that \(t_1 \sim_1 t'_1\).
By the supposition, \(f (t_1) \sim_2 f (t'_1)\).
That means that \([f (t_1)]_2 = [f (t'_1)]_2\).
So, for each \([t_1]_1 \in T_1 / \sim_1\), \([f (t_1)]_2\) is uniquely determined independent of the choice of \(t_1\).
So, \(\widetilde{f}\) is well-defined.
\(\widetilde{f'}\) is well-defined, likewise.
Step 2:
As \(f \simeq f' rel S_1\), there is a homotopy, \(F: T_1 \times I \to T_2\), such that for each \(t_1 \in T_1\), \(F (t_1, 0) = f (t_1)\) and \(F (t_1, 1) = f' (t_1)\) and for each \(s_1 \in S_1\), for each \(r \in I\), \(F (s_1, r) = f (s_1) = f' (s_1)\).
Step 3:
Let us see that \(\widetilde{F}: (T_1 / \sim_1) \times I \to T_2 / \sim_2, ([t_1]_1, r) \mapsto [F (t_1, r)]_2\) is well-defined.
Let \(t_1, t'_1 \in T_1\) be any such that \([t_1]_1 = [t'_1]_1\).
When \(t_1 = t'_1\), \(F (t_1, r) = F (t'_1, r)\), so, \([F (t_1, r)]_2 = [F (t'_1, r)]_2\).
Let us suppose that \(t_1 \neq t'_1\).
\(t_1, t'_1 \in S_1\), because if \(t_1 \in T_1 \setminus S_1\), \([t_1]_1 = \{t_1\}\), by the supposition, so, \(t'_1 \in [t_1]\) would imply that \(t'_1 = t_1\), a contradiction, and likewise for \(t'_1 \in T_1 \setminus S_1\).
So, \(F (t_1, r) = f (t_1) = f' (t_1)\) and \(F (t'_1, r) = f (t'_1) = f' (t'_1)\).
But \([f (t_1)]_2 = [f (t'_1)]_2\), by the supposition.
So, \([F (t_1, r)]_2 = [f (t_1)]_2 = [f (t'_1)]_2 = [F (t'_1, r)]_2\).
So, for each \(([t_1]_1, r) \in (T_1 / \sim_1) \times I\), \([F (t_1, r)]_2\) is uniquely determined independent of the choice of \(t_1\).
So, \(\widetilde{F}\) is well-defined.
Step 4:
\(\widetilde{F}\) is continuous, by the proposition that for any continuous map from the product of any topological space and any locally compact Hausdorff topological space and any equivalence relations on the 1st space and the codomain, if each 1st space equivalence class is mapped into any codomain equivalence class, the induced map between the product of the quotient space and the 2nd space and the quotient space is continuous.
\(\widetilde{F} ([t_1]_1, 0) = [F (t_1, 0)]_2 = [f (t_1)]_2 = \widetilde{f} ([t_1]_1)\) and \(\widetilde{F} ([t_1]_1, 1) = [F (t_1, 1)]_2 = [f' (t_1)]_2 = \widetilde{f'} ([t_1]_1)\).
For each \([s_1]_1 \in \{[s_1]_1 \vert s_1 \in S_1\} \subseteq T_1 / \sim_1\), for each \(r \in I\), \(\widetilde{F} ([s_1]_1, r) = [F (s_1, r)]_2 = [f (s_1)]_2 = [f' (s_1)]_2\), but \([f (s_1)]_2 = \widetilde{f} ([s_1]_1)\) and \([f' (s_1)]_2 = \widetilde{f'} ([s_1]_1)\).
That means that \(\widetilde{F}\) is a homotopy between \(\widetilde{f}\) and \(\widetilde{f'}\) relative to \(\{[s_1]_1 \vert s_1 \in S_1\}\).
So, \(\widetilde{f} \simeq \widetilde{f'} rel \{[s_1]_1 \vert s_1 \in S_1\}\).
