スペース（空間）とローカルにコンパクトハウスドルフスペース（空間）のプロダクトからのコンティニュアスマップ（連続写像）および第1スペース（空間）およびコドメイン（余域）上のイクイバレンスリレーション（同値関係）たちに対して、もしも、第1スペース（空間）イクイバレンス（同値）クラスがコドメイン（余域）イクイバレンス（同値）クラスの中へマップされる場合、クオシエント（商）スペース（空間）と第2スペース（空間）のプロダクトとクオシエント（商）スペース（空間）の間のインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意の第1トポロジカルスペース（空間）から任意の第2トポロジカルスペース（空間）の上への任意のクウォシェント（商）マップ（写像）および任意の第3のローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）上方のアイデンティティマップ（恒等写像）に対して、当該マップ（写像）と当該アイデンティティマップ（恒等写像）のプロダクトはクウォシェント（商）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）たちコンポジション（合成）に対して、当該コンポジション（合成）下のプリイメージ（前像）はマップ（写像）プリイメージ（前像）たちの逆順でのコンポジション（合成）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）と任意のローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）のプロダクトからの任意のコンティニュアスマップ（連続写像）および第1スペース（空間）および当該コドメイン（余域）上の任意のイクイバレンスリレーション（同値関係）たちに対して、もしも、各第1スペース（空間）イクイバレンス（同値）クラスが任意のコドメイン（余域）イクイバレンス（同値）クラスの中へマップされる場合、当該クオシエント（商）スペース（空間）と第2スペース（空間）のプロダクトと当該クオシエント（商）スペース（空間）の間のインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_3\): \(\in \{\text{ 全てのローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \times T_3 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
\(\sim_1\): \(\in \{T_1 \text{ 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)
\(\sim_2\): \(\in \{T_2 \text{ 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)
\(T_1 / \sim_1\): \(= \text{ 当該クオシエント（商）トポロジカルスペース（空間） }\)
\(T_2 / \sim_2\): \(= \text{ 当該クオシエント（商）トポロジカルスペース（空間） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall t_1, t'_1 \in T_1 \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } t_1 \sim_1 t'_1, \forall t_3 \in T_3 (f ((t_1, t_3)) \sim_2 f ((t'_1, t_3)))\)
\(\implies\)
\(\widetilde{f}: (T_1 / \sim_1) \times T_3 \to T_2 / \sim_2, ([t_1]_1, t_3) \mapsto [f ((t_1, t_3))]_2 \in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
//
2: 注
例えば、\(\mathbb{R}\)、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）、は、ローカルにコンパクトハウスドルフである、ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）はローカルにコンパクトであるという命題によって。
\(\mathbb{R}\)の任意のオープン（開）またはクローズド（閉）サブスペース（部分空間）はローカルにコンパクトハウスドルフである、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のオープン（開）サブスペース（部分空間）はローカルにコンパクトであるという命題、任意のローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズド（閉）サブスペース（部分空間）はローカルにコンパクトであるという命題、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のサブスペース（部分空間）はハウスドルフであるという命題によって。
特に、\(\mathbb{R}\)の任意のオープン（開）またはクローズド（閉）インターバル（区間）はローカルにコンパクトハウスドルフである。
特に、\(I = [0, 1]\)はローカルにコンパクトハウスドルフである。
したがって、本命題は、例えば、\(f: T_1 \times I \to T_2\)に適用できる。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(\widetilde{f}\) is well-defined; Step 2: take the classification maps, \(f_1: T_1 \to T_1 / \sim_1\) and \(f_2: T_2 \to T_2 / \sim_2\), and \(g: T_1 \times T_3 \to (T_1 / \sim_1) \times T_3 = f_1 \times id\), and see that \(g\) is quotient and \(g^{-1} ({\widetilde{f}}^{-1} (\widetilde{U_2})) = f^{-1} ({f_2}^{-1} (\widetilde{U_2}))\); Step 3: conclude the proposition.
Step 1:
Let us see that \(\widetilde{f}\) is indeed well-defined.
Let \(t_1, t'_1 \in T_1\) be any such that \([t_1]_1 = [t'_1]_1\).
That means that \(t_1 \sim_1 t'_1\).
\(f (t_1, t_3) \sim_2 f (t'_1, t_3)\) for each \(t_3 \in T_3\), by the supposition.
That means that \([f (t_1, t_3)]_2 = [f (t'_1, t_3)]_2\).
So, \([f (t_1, t_3)]_2\) is uniquely determined from \(([t_1]_1, t_3)\) independent of the choice of \(t_1\) in \([t_1]_1\).
So, \(\widetilde{f}\) is well-defined.
Step 2:
Let \(f_1: T_1 \to T_1 / \sim_1\) and \(f_2: T_2 \to T_2 / \sim_2\) be the classification maps.
Let \(g: T_1 \times T_3 \to (T_1 / \sim_1) \times T_3, (t_1, t_3) \mapsto ([t_1], t_3)\).
That is, in fact, \(f_1 \times id\).
\(g\) is a quotient map, by the proposition that for any quotient map from any 1st topological space onto any 2nd topological space and the identity map over any 3rd locally compact Hausdorff topological space, the product of the map and the identity map is quotient.
Let us see that \(\widetilde{f} \circ g = f_2 \circ f\).
Let \((t_1, t_3) \in T_1 \times T_3\) be any.
\(\widetilde{f} \circ g ((t_1, t_3)) = \widetilde{f} (([t_1]_1, t_3)) = [f ((t_1, t_3))]_2\).
\(f_2 \circ f ((t_1, t_3)) = [f ((t_1, t_3))]_2\).
So, \(\widetilde{f} \circ g ((t_1, t_3)) = f_2 \circ f ((t_1, t_3))\) for each \((t_1, t_3) \in T_1 \times T_3\), which means that \(\widetilde{f} \circ g = f_2 \circ f\).
Let \(\widetilde{U_2} \subseteq T_2 / \sim_2\) be any open subset.
\((\widetilde{f} \circ g)^{-1} (\widetilde{U_2}) = (f_2 \circ f)^{-1} (\widetilde{U_2})\).
But the left hand side is \(g^{-1} ({\widetilde{f}}^{-1} (\widetilde{U_2}))\) and the right hand side is \(f^{-1} ({f_2}^{-1} (\widetilde{U_2}))\), by the proposition that for any maps composition, the preimage under the composition is the composition of the map preimages in the reverse order.
So, \(g^{-1} ({\widetilde{f}}^{-1} (\widetilde{U_2})) = f^{-1} ({f_2}^{-1} (\widetilde{U_2}))\).
Step 3:
\(f^{-1} ({f_2}^{-1} (\widetilde{U_2})) \subseteq T_1 \times T_3\) is open, because \(f_2\) and \(f\) are continuous.
So, \(g^{-1} ({\widetilde{f}}^{-1} (\widetilde{U_2})) \subseteq T_1 \times T_3\) is open.
As \(g\) is quotient, \({\widetilde{f}}^{-1} (\widetilde{U_2}) \subseteq (T_1 / \sim_1) \times T_3\) is open.
That means that \(\widetilde{f}\) is continuous.
