同一ドメイン（定義域）から同一コドメイン（余域）の中への\(2\)個のコンティニュアスマップ（連続写像）たちおよびドメイン（定義域）のディスジョイント（互いに素）オープンカバー（開被覆）に対して、もしも、マップ（写像）たちのカバー（被覆）の各要素についてのリストリクション（制限）たちがサブセット（部分集合）へレラティブ（相対的）にホモトピックである場合、マップ（写像）たちはサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）へレラティブ（相対的）にホモトピックであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）へレラティブ（相対的）にホモトピックなマップ（写像）たちの定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題を認めている。
- 読者は、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のインデックス付きトポロジカルスペース（空間）たちまたは有限数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち、およびそれらのサブスペース（部分空間）たちに対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の同一ドメイン（定義域）から任意の同一コドメイン（余域）の中への任意の\(2\)個のコンティニュアスマップ（連続写像）たちおよび当該ドメイン（定義域）の任意のディスジョイント（互いに素）オープンカバー（開被覆）に対して、もしも、当該マップ（写像）たちの当該カバー（被覆）の各要素についてのリストリクション（制限）たちが任意のサブセット（部分集合）へレラティブ（相対的）にホモトピックである場合、当該マップ（写像）たちは当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）へレラティブ（相対的）にホモトピックであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(\in T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
\(f'\): \(\in T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
\(\{U_j \in \{T_1 \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} \vert j \in J\}\): ここで、\(J \in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\), \(\forall j, j' \in J \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } j \neq j' (U_j \cap U_{j'} = \emptyset)\)、および\(\cup_{j \in J} U_j = T_1\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall j \in J (f \vert_{U_j} \simeq f' \vert_{U_j} rel S_j)\)
\(\implies\)
\(f \simeq f' rel \cup_{j \in J} S_j\)
//
2: 注
各\(f \vert_{U_j}: U_j \to T_2\)または\(f' \vert_{U_j}: U_j \to T_2\)は不可避にコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって、したがって、\(f \vert_{U_j}\)と\(f' \vert_{U_j}\)がホモトピックであることについて語ることは意味をなす。
\(\{U_j \in \{T_1 \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} \vert j \in J\}\)はディスジョイント（互いに素）である必要がある、本命題に対して、なぜなら、そうでなかったら、\(f\)と\(f'\)間のホモトピーが当該リストリクテッド（制限された）マップ（写像）たち間のホモトピーたちから構成された時、整合性が懸念事項となることになる。
本命題が適用されるある典型的ケースは、\(T_1\)があるトポロジカルサム\(\coprod_{j \in J} T_{1, j}\)であるものである: \(\{T_{1, j}\}\)は\(T_1\)のあるディスジョイント（互いに素）オープンカバー（開被覆）である。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: for each \(j \in J\), take a homotopy, \(F_j: U_j \times I \to T_2\) between \(f \vert_{U_j}\) and \(f' \vert_{U_j}\) relative to \(S_j\); Step 2: take \(F: T_1 \times I \to T_2\) such that \(F \vert_{U_j \times I} = F_j\), and see that \(F\) is a homotopy between \(f\) and \(f'\) relative to \(\cup_{j \in J} S_j\).
Step 1:
Let \(j \in J\) be any.
As \(f \vert_{U_j} \simeq f' \vert_{U_j} rel S_j\), there is a homotopy, \(F_j: U_j \times I \to T_2\), such that \(F_j (u_j, 0) = f (u_j)\), \(F_j (u_j, 1) = f' (u_j)\), and for each \(s_j \in S_j\), \(F_j (s_j, j) = f (s_j) = f' (s_j)\).
Step 2:
Let us take \(F: T_1 \times I \to T_2\) such that \(F \vert_{U_j \times I} = F_j\).
\(F\) is well-defined, because \(\{U_j \times I \vert j \in J\}\) is a disjoint cover of \(T_1 \times I\).
Each \(U_j \times I\) is an open subset of \(T_1 \times I\), by Note for the definition of product topology.
So, \(\{U_j \times I \vert j \in J\}\) is an open cover of \(T_1 \times I\).
\(F\) is continuous, by the proposition that any map between topological spaces is continuous if the domain restriction of the map to each open set of a possibly uncountable open cover is continuous: the proposition that for any possibly uncountable number of indexed topological spaces or any finite number of topological spaces and their subspaces, the product of the subspaces is the subspace of the product of the base spaces.
For each \(t_1 \in T_1\), \(t_1 \in U_j\) for a \(j \in J\), and \(F (t_1, 0) = F_j (t_1, 0) = f (t_1)\).
For each \(t_1 \in T_1\), \(t_1 \in U_j\) for a \(j \in J\), and \(F (t_1, 1) = F_j (t_1, 1) = f' (t_1)\).
For each \(s \in \cup_{j \in J} S_j\), \(s \in S_j \subseteq U_j\) for a \(j \in J\), and for each \(r \in I\), \(F (s, r) = F_j (s, r) = f (s) = f' (s)\).
So, \(F\) is a homotopy between \(f\) and \(f'\) relative to \(\cup_{j \in J} S_j\).
So, \(f \simeq f' rel \cup_{j \in J} S_j\).
