コンティニュアスマップ（連続写像）およびドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）上のイクイバレンスリレーション（同値関係）たちに対して、もしも、ドメイン（定義域）イクイバレンス（同値）クラスがコドメイン（余域）イクイバレンス（同値）クラス内にマップされる場合、クオシエント（商）スペース（空間）たち間のインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンティニュアスマップ（連続写像）および当該ドメイン（定義域）および当該コドメイン（余域）上の任意のイクイバレンスリレーション（同値関係）たちに対して、もしも、各ドメイン（定義域）イクイバレンス（同値）クラスが任意のコドメイン（余域）イクイバレンス（同値）クラス内にマップされる場合、当該クオシエント（商）スペース（空間）たち間のインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
\(\sim_1\): \(\in \{T_1 \text{ 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)
\(\sim_2\): \(\in \{T_2 \text{ 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)
\(T_1 / \sim_1\): \(= \text{ 当該クウォシェント（商）トポロジカルスペース（空間） }\)
\(T_2 / \sim_2\): \(= \text{ 当該クウォシェント（商）トポロジカルスペース（空間） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall t_1, t'_1 \in T_1 \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } t_1 \sim_1 t'_1 (f (t_1) \sim_2 f (t'_1))\)
\(\implies\)
\(\widetilde{f}: T_1 / \sim_1 \to T_2 / \sim_2, [t_1]_1 \mapsto [f (t_1)]_2 \in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(\widetilde{f}\) is well-defined; Step 2: take the classification maps, \(f_1: T_1 \to T_1 / \sim_1\) and \(f_2: T_2 \to T_2 / \sim_2\), and see that \({f_1}^{-1} ({\widetilde{f}}^{-1} (\widetilde{U_2})) = f^{-1} ({f_2}^{-1} (\widetilde{U_2}))\); Step 3: conclude the proposition.
Step 1:
Let us see that \(\widetilde{f}\) is indeed well-defined.
Let \(t_1, t'_1 \in T_1\) be any such that \([t_1]_1 = [t'_1]_1\).
That means that \(t_1 \sim_1 t'_1\).
\(f (t_1) \sim_2 f (t'_1)\), by the supposition.
That means that \([f (t_1)]_2 = [f (t'_1)]_2\).
So, \([f (t_1)]_2\) is uniquely determined from \([t_1]_1\) independent of the choice of \(t_1\) in \([t_1]_1\).
So, \(\widetilde{f}\) is well-defined.
Step 2:
Let \(f_1: T_1 \to T_1 / \sim_1\) and \(f_2: T_2 \to T_2 / \sim_2\) be the classification maps.
Let us see that \(\widetilde{f} \circ f_1 = f_2 \circ f\).
Let \(t_1 \in T_1\) be any.
\(\widetilde{f} \circ f_1 (t_1) = \widetilde{f} ([t_1]_1) = [f (t_1)]_2\).
\(f_2 \circ f (t_1) = [f (t_1)]_2\).
So, \(\widetilde{f} \circ f_1 (t_1) = f_2 \circ f (t_1)\) for each \(t_1 \in T_1\), which means that \(\widetilde{f} \circ f_1 = f_2 \circ f\).
Let \(\widetilde{U_2} \subseteq T_2 / \sim_2\) be any open subset.
\((\widetilde{f} \circ f_1)^{-1} (\widetilde{U_2}) = (f_2 \circ f)^{-1} (\widetilde{U_2})\).
But the left hand side is \({f_1}^{-1} ({\widetilde{f}}^{-1} (\widetilde{U_2}))\) and the right hand side is \(f^{-1} ({f_2}^{-1} (\widetilde{U_2}))\), by the proposition that for any maps composition, the preimage under the composition is the composition of the map preimages in the reverse order.
So, \({f_1}^{-1} ({\widetilde{f}}^{-1} (\widetilde{U_2})) = f^{-1} ({f_2}^{-1} (\widetilde{U_2}))\).
Step 3:
\(f^{-1} ({f_2}^{-1} (\widetilde{U_2})) \subseteq T_1\) is open, because \(f_2\) and \(f\) are continuous.
So, \({f_1}^{-1} ({\widetilde{f}}^{-1} (\widetilde{U_2})) \subseteq T_1\) is open.
As \(f_1\) is quotient, \({\widetilde{f}}^{-1} (\widetilde{U_2}) \subseteq T_1 / \sim_1\) is open.
That means that \(\widetilde{f}\) is continuous.
