エルミートマトリックス（行列）のユニタリマトリックス（行列）によるコンジュゲート（共役）はエルミートであることの記述/証明
話題
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、エルミートマトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、ユニタリマトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、マトリックス（行列）のインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）によるコンジュゲート（共役）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリング（環）に対して、当該リング（環）上方の任意のマトリックス（行列）たちのマルチプリケーション（乗法）たちはアソシアティブ（結合的）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のエルミートコンジュゲート（共役）は、当該構成要素たちのエルミートコンジュゲート（共役）たちの逆順によるプロダクト（積）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のユニタリマトリックス（行列）に対して、当該マトリックス（行列）のインバース（逆）のエルミートコンジュゲート（共役）および当該マトリックス（行列）のエルミートコンジュゲート（共役）のインバース（逆）は当該マトリックス（行列）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のエルミートマトリックス（行列）の任意のユニタリマトリックス（行列）によるコンジュゲート（共役）はエルミートであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのエルミートマトリックス（行列）たち }\}\)
\(N\): \(\in \{\text{ 全てのユニタリマトリックス（行列）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(N M N^{- 1} \in \{\text{ 全てのエルミートマトリックス（行列）たち }\}\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(N M N^{- 1}\) is valid; Step 2: see that \((N M N^{- 1})^* = N M N^{- 1}\).
Step 1:
\(N\) has \(N^{- 1}\), because \(N^{- 1} = N^*\), by the definition of unitary matrix.
So, \(N M N^{- 1}\) is valid.
Step 2:
We hereafter use the proposition that for any ring, the multiplications of any matrices over the ring are associative.
\((N M N^{- 1})^* = {N^{- 1}}^* M^* N^*\), by the proposition that the Hermitian conjugate of the product of any complex matrices is the product of the Hermitian conjugates of the constituents in the reverse order, \(= N M N^{- 1}\), by the proposition that for any unitary matrix, the Hermitian conjugate of the inverse of the matrix and the inverse of the Hermitian conjugate of the matrix is the matrix.
So, \((N M N^{- 1})^*\) is Hermitian.
