ユニタリマトリックス（行列）のユニタリマトリックス（行列）によるコンジュゲート（共役）はユニタリであることの記述/証明
話題
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユニタリマトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、マトリックス（行列）のインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）によるコンジュゲート（共役）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリング（環）に対して、当該リング（環）上方の任意のマトリックス（行列）たちのマルチプリケーション（乗法）たちはアソシアティブ（結合的）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のエルミートコンジュゲート（共役）は、当該構成要素たちのエルミートコンジュゲート（共役）たちの逆順によるプロダクト（積）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のユニタリマトリックス（行列）のインバース（逆）はユニタリであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユニタリマトリックス（行列）の任意のユニタリマトリックス（行列）によるコンジュゲート（共役）はユニタリであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのユニタリマトリックス（行列）たち }\}\)
\(N\): \(\in \{\text{ 全てのユニタリマトリックス（行列）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(N M N^{- 1} \in \{\text{ 全てのユニタリマトリックス（行列）たち }\}\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(N M N^{- 1}\) is valid; Step 2: see that \((N M N^{- 1})^* = (N M N^{- 1})^{- 1}\).
Step 1:
\(N\) has \(N^{- 1}\), because \(N^{- 1} = N^*\), by the definition of unitary matrix.
So, \(N M N^{- 1}\) is valid.
Step 2:
We hereafter use the proposition that for any ring, the multiplications of any matrices over the ring are associative.
\((N M N^{- 1})^* = {N^{- 1}}^* M^* N^*\), by the proposition that the Hermitian conjugate of the product of any complex matrices is the product of the Hermitian conjugates of the constituents in the reverse order.
So, \((N M N^{- 1})^* N M N^{- 1} = {N^{- 1}}^* M^* N^* N M N^{- 1} = {N^{- 1}}^* M^* (N^* N) M N^{- 1} = {N^{- 1}}^* M^* I M N^{- 1} = {N^{- 1}}^* (M^* M) N^{- 1} = {N^{- 1}}^* I N^{- 1} = {N^{- 1}}^* N^{- 1} = I\), by the proposition that the inverse of any unitary matrix is unitary.
Likewise, \(N M N^{- 1} (N M N^{- 1})^* = N M N^{- 1} {N^{- 1}}^* M^* N^* = N M (N^{- 1} {N^{- 1}}^*) M^* N^* = N M I M^* N^*\), by the proposition that the inverse of any unitary matrix is unitary, \(= N (M M^*) N^* = N I N^* = N N^* = I\).
So, \((N M N^{- 1})^* = (N M N^{- 1})^{- 1}\).
So, \((N M N^{- 1})^*\) is unitary.
