グループ（群）、ノーマルサブグループ（正規部分群）、グループ（群）の要素に対して、サブグループ（部分群）の要素による左コセット（剰余類）はサブグループ（部分群）の要素による右コセット（剰余類）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）、任意のノーマルサブグループ（正規部分群）、当該グループ（群）の任意の要素に対して、当該サブグループ（部分群）の当該要素による左コセット（剰余類）は当該サブグループ（部分群）の当該要素による右コセット（剰余類）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G'\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(G\): \(\in \{G' \text{ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}\)
\(g'\): \(\in G'\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(g' G = G g'\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(g' G {g'}^{- 1} = G\) implies that \(g' G = G g'\).
Step 1:
\(g' G {g'}^{- 1} = G\), by the definition of normal subgroup.
So, \(g' G {g'}^{- 1} g' = G g'\).
But the left hand side is \(g' G ({g'}^{- 1} g')\), by the proposition that for any group, any finite product of subsets of the group is associative, \(= g' G 1 = (g' G) 1 = g' G\).
So, \(g' G = G g'\).
