グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））およびクローズド（閉）ノーマルサブグループ（正規部分群）に対して、クウォシェント（商）グループ（群）はトポロジカルグループ（群）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルグループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つ任意のもの（特に、トポロジカルグループ（群））および任意のクローズド（閉）サブグループ（部分群）に対して、当該サブグループ（部分群）の左または右コセット（剰余類）たちクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフであり、当該クラシフィケーションマップ（クラス分け写像）はオープン（開）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）、任意のノーマルサブグループ（正規部分群）、当該サブグループ（部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）に対して、当該クラシフィケーションマップ（クラス分け写像）はあるグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であり当該ノーマルサブグループ（正規部分群）はそのカーネル（核）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）数オープン（開）クウォシェント（商）マップ（写像）たちのプロダクトはオープン（開）クウォシェント（商）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つ任意のもの（特に、任意のトポロジカルグループ（群））および任意のクローズド（閉）ノーマルサブグループ（正規部分群）に対して、当該クウォシェント（商）グループ（群）で当該クウォシェント（商）トポロジーを持つものはあるトポロジカルグループ（群）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G'\): \(\in \{\text{ 全ての、グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つものたち }\}\)
\(G\): \(\in \{G' \text{ の全てのクローズド（閉）ノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}\)
\(G' / G\): \(= \text{ 当該クウォシェント（商）グループ（群）で当該クウォシェント（商）トポロジーを持つもの }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(G' / G \in \{\text{ 全てのトポロジカルグループ（群）たち }\}\)
//
2: 注
典型的には、\(G'\)はあるトポロジカルグループ（群）である、しかし、そうである必要はない、本命題に対して: \(G'\)はハウスドルフである必要はない、それは、"証明"内で使われていないから。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(G' / G\) is a group and a Hausdorff topological space; Step 2: see that the multiplication map of \(G' / G\) is continuous; Step 3: see that the inversion map of \(G' / G\) is continuous; Step 4: conclude the proposition.
Step 1:
\(G' / G\) is indeed a group, as is seen in Note for the definition of quotient group of group by normal subgroup.
\(G' / G\) with the quotient topology is a Hausdorff topological space and the classification map, \(f: G' \to G' / G\), is an open quotient map, by the proposition that for any group with topology with continuous operations (especially, topological group) and any closed subgroup, the left or right cosets of the subgroup quotient topological space is Hausdorff and the classification map is open.
Step 2:
Let \(m': G' \times G' \to G'\) is the multiplication map.
Let \(\widetilde{m}: G' / G \times G' / G \to G' / G\) is the multiplication map.
\(f \circ m' = \widetilde{m} \circ (f \times f)\), by the proposition that for any group, any normal subgroup, and the quotient group by the subgroup, the classification map is a group homomorphism whose kernel the normal subgroup is.
\(f \times f\) is quotient, by the proposition that the product of any finite number of open quotient maps is open quotient.
\(f \circ m'\) is continuous, by the proposition that for any maps between any arbitrary subspaces of any topological spaces continuous at any corresponding points, the composition is continuous at the point.
So, \(\widetilde{m} \circ (f \times f)\) is continuous.
Then, \(\widetilde{m}\) is continuous, by the universal property of quotient map: any surjection between topological spaces is a quotient map if and only if any additional map from the codomain of the original map to any additional topological space is continuous if and only if the composition of the additional map after the original map is continuous.
Step 3:
Let \(i': G' \to G'\) be the inversion map.
Let \(\widetilde{i}: G' / G \to G' / G\) be the inversion map.
\(f \circ i' = \widetilde{i} \circ f\), by the proposition that for any group, any normal subgroup, and the quotient group by the subgroup, the classification map is a group homomorphism whose kernel the normal subgroup is.
\(f \circ i'\) is continuous, by the proposition that for any maps between any arbitrary subspaces of any topological spaces continuous at any corresponding points, the composition is continuous at the point.
So, \(\widetilde{i} \circ f\) is continuous.
Then, \(\widetilde{i}\) is continuous, by the universal property of quotient map: any surjection between topological spaces is a quotient map if and only if any additional map from the codomain of the original map to any additional topological space is continuous if and only if the composition of the additional map after the original map is continuous.
Step 4:
So, \(G' / G\) is a topological group.
