グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））およびクローズド（閉）サブグループ（部分群）に対して、サブグループ（部分群）のコセット（剰余類）たちクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフであり、クラシフィケーションマップ（クラス分け写像）はオープン（開）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））のサブグループ（部分群）の左または右コセット（剰余類）たちクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、オープンマップ（開写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）、任意のサブグループ（部分群）、当該サブグループ（部分群）の左または右コセット（剰余類）たちクオシエント（商）セット（集合）に対して、任意のサブセット（部分集合）のクラシフィケーションマップ（クラス分け写像）後にプリイメージ（前像）を取るコンポジション（合成）は、当該サブグループ（部分群）に左または右から当該サブセット（部分集合）を掛けたものであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）、任意の\(2\)個の要素たち、任意のサブグループ（部分群）に対して、当該サブグループ（部分群）の当該要素たちによる左または右コセット（剰余類）たちは同一である、もしも、ある要素のインバース（逆）と他方要素のプロダクト（積）またはある要素と他方要素のインバース（逆）のプロダクト（積）が当該サブグループ（部分群）内に包含されている場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））、任意の要素、当該要素の任意のネイバーフッド（近傍）に対して、\(1\)のあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）で当該要素に\(1\)の当該ネイバーフッド（近傍）を左から掛けて\(1\)の当該ネイバーフッド（近傍）のインバース（逆）を右から掛けたものが当該要素の当該ネイバーフッド（近傍）に包含されているものがあるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）、任意の\(2\)個のサブセット（部分集合）たち、任意のシンメトリック（対称）サブセット（部分集合）に対して、もしも、第1サブセット（部分集合）と第2サブセット（部分集合）と当該シンメトリック（対称）サブセット（部分集合）のプロダクト（積）のインターセクション（共通集合）が空である場合、第1サブセット（部分集合）と当該シンメトリック（対称）サブセット（部分集合）のプロダクト（積）と第2サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は空であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）に対して、任意の要素と任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちに対して、当該要素と当該サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のプロダクト（積）は、当該要素と当該サブセット（部分集合）たちのプロダクト（積）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）、任意のサブグループ（部分群）、任意の\(2\)個のサブセット（部分集合）たちに対して、もしも、第1サブセット（部分集合）と第2サブセット（部分集合）と当該サブグループ（部分群）のプロダクト（積）のインターセクション（共通集合）が空である場合、第1サブセット（部分集合）と当該サブグループ（部分群）のプロダクト（積）と第2サブセット（部分集合）と当該サブグループ（部分群）のプロダクト（積）のインターセクション（共通集合）は空であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つ任意のもの（特に、トポロジカルグループ（群））および任意のクローズド（閉）サブグループ（部分群）に対して、当該サブグループ（部分群）の左または右コセット（剰余類）たちクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフであり、当該クラシフィケーションマップ（クラス分け写像）はオープン（開）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G'\): \(\in \{\text{ 全ての、グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの }\}\)
\(G\): \(\in \{G' \text{ の全てのクローズド（閉）サブグループ（部分群）たち }\}\)
\(G' / \sim_{G, l}\): \(= G' \text{ の } G \text{ の左コセット（剰余類）たち } \text{ クオシエント（商）トポロジカルスペース（空間） }\)
\(G' / \sim_{G, r}\): \(= G' \text{ の } G \text{ の右コセット（剰余類）たち } \text{ クオシエント（商）トポロジカルスペース（空間） }\)
\(f_l\): \(: G' \to G' / \sim_{G, l}\), \(= \text{ 当該クラシフィケーションマップ（クラス分け写像） }\)
\(f_r\): \(: G' \to G' / \sim_{G, r}\), \(= \text{ 当該クラシフィケーションマップ（クラス分け写像） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(G' / \sim_{G, l}, G' / \sim_{G, r} \in \{\text{ 全てのハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\land\)
\(f_l, f_r \in \{\text{ 全てのオープンマップ（開写像）たち }\}\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that for each open \(U' \subseteq G'\), \({f_l}^{-1} \circ f_l (U') = U' G\), and conclude that \(f_l\) is open; Step 2: see that for each open \(U' \subseteq G'\), \({f_r}^{-1} \circ f_r (U') = G U'\), and conclude that \(f_r\) is open; Step 3: for each \(g'_1 G \neq g'_2 G\), see that \({g'_1}^{- 1} g'_2 \in G' \setminus G\), take a symmetric neighborhood of \(1 \in G'\), \(N'_1\), such that \(N'_1 {g'_1}^{- 1} g'_2 N'_1 \subseteq G' \setminus G \), and see that \(f_l (g'_1 N'_1 G)\) and \(f_l (g'_2 N'_1 G)\) are some disjoint nonempty neighborhoods of \(g'_1 G\) and \(g'_2 G\); Step 4: for each \(G g'_1 \neq G g'_2\), see that \(g'_1 {g'_2}^{- 1} \in G' \setminus G\), take a symmetric neighborhood of \(1 \in G'\), \(N'_1\), such that \(N'_1 g'_1 {g'_2}^{- 1} N'_1 \subseteq G' \setminus G\), and see that \(f_r (G N'_1 g'_1)\) and \(f_r (G N'_1 g'_2)\) are some disjoint nonempty neighborhoods of \(G g'_1\) and \(G g'_2\).
Step 1:
Let \(U' \subseteq G'\) be any open subset.
\({f_l}^{-1} \circ f_l (U') = U' G\), by the proposition that for any group, any subgroup, and the left or right cosets of the subgroup quotient set, the composition of the preimage after the classification map of any subset is the subgroup multiplied by the subset from left or right.
\(U' G \subseteq G'\) is open, because it is \(\cup_{g \in G} U' g\) and each \(U' g \subseteq G'\) is open, by the proposition that for any group with any topology with any continuous operations (especially, topological group) and each element, the inversion map, the multiplication-by-element-from-left-or-right map, and the conjugation-by-element map are homeomorphisms
Then, \(f_l (U') \subseteq G' / \sim_{G, l}\) is open, by the definition of quotient topology.
So, \(f_l\) is open.
Step 2:
Let \(U' \subseteq G'\) be any open subset.
\({f_r}^{-1} \circ f_r (U') = G U'\), by the proposition that for any group, any subgroup, and the left or right cosets of the subgroup quotient set, the composition of the preimage after the classification map of any subset is the subgroup multiplied by the subset from left or right.
\(G U' \subseteq G'\) is open, because it is \(\cup_{g \in G} g U'\) and each \(g U' \subseteq G'\) is open, by the proposition that for any group with any topology with any continuous operations (especially, topological group) and each element, the inversion map, the multiplication-by-element-from-left-or-right map, and the conjugation-by-element map are homeomorphisms.
Then, \(f_r (U') \subseteq G' / \sim_{G, r}\) is open, by the definition of quotient topology.
So, \(f_r\) is open.
Step 3:
Let \(g'_1 G, g'_2 G \in G' / \sim_{G, l}\) be any such that \(g'_1 G \neq g'_2 G\).
\({g'_1}^{- 1} g'_2 \notin G\), by the proposition that for any group, any \(2\) elements, and any subgroup, the left or right cosets of the subgroup by the elements are same if and only if the product of the inverse of an element and the other element or the product of an element and the inverse of the other element is contained in the subgroup.
So, \({g'_1}^{- 1} g'_2 \in G' \setminus G\).
As \(G\) is closed, \(G' \setminus G\) is open, and \(G' \setminus G \subseteq G'\) is an open neighborhood of \({g'_1}^{- 1} g'_2\).
There is a symmetric neighborhood of \(1 \in G'\), \(N'_1 \subseteq G'\), such that \(N'_1 {g'_1}^{- 1} g'_2 N'_1 \subseteq G' \setminus G\), by the proposition that for any group with any topology with any continuous operations (especially, topological group), any element, and any neighborhood of the element, there is a symmetric neighborhood of \(1\) such that the element multiplied from left by the neighborhood of \(1\) and multiplied from right by the inverse of the neighborhood of \(1\) is contained in the neighborhood of the element.
So, \(N'_1 {g'_1}^{- 1} g'_2 N'_1 \cap G = \emptyset\).
\({g'_1}^{- 1} g'_2 N'_1 \cap N'_1 G = \emptyset\), by the proposition that for any group, any \(2\) subsets, and any symmetric subset, if the intersection of the 1st subset and the product of the 2nd subset and the symmetric subset is empty, the intersection of the product of the 1st subset and the symmetric subset and the 2nd subset is empty.
\(g'_1 ({g'_1}^{- 1} g'_2 N'_1 \cap N'_1 G) = g'_1 \emptyset = \emptyset\), but the left hand side is \(g'_1 {g'_1}^{- 1} g'_2 N'_1 \cap g'_1 N'_1 G\), by the proposition that for any group, any element, and any possibly uncountable number of subsets, the product of the element and the intersection of the subsets is the intersection of the products of the element and the subsets, \(= g'_2 N'_1 \cap g'_1 N'_1 G\).
\(g'_2 N'_1 G \cap g'_1 N'_1 G = \emptyset\), by the proposition that for any group, any subgroup, and any \(2\) subsets, if the intersection of the 1st subset and the product of the 2nd subset and the subgroup is empty, the intersection of the product of the 1st subset and the subgroup and the product of the 2nd subset and the subgroup is empty.
\(f_l (g'_1 N'_1 G) \subseteq G' / \sim_{G, l}\) is a neighborhood of \(g'_1 G \in G' / \sim_{G, l}\), because there is an open neighborhood of \(1\), \(U'_1 \subseteq G'\), such that \(U'_1 \subseteq N'_1\), and \(f_l (g'_1 U'_1 G) \subseteq f_l (g'_1 N'_1 G)\) while \(f_l (g'_1 U'_1 G)\) is an open neighborhood of \(g'_1 G\), because \(g'_1 U'_1 G\) is open and \(f_l\) is open and \(g'_1 = g'_1 1 1 \in g'_1 U'_1 G\) and \(f_l (g'_1) = g'_1 G\): \(g'_1 U'_1 G = \cup_{g \in G} g'_1 U'_1 g\), and \(g'_1 U'_1\) is open and \(g'_1 U'_1 g\) is open, by the proposition that for any group with any topology with any continuous operations (especially, topological group) and each element, the inversion map, the multiplication-by-element-from-left-or-right map, and the conjugation-by-element map are homeomorphisms.
\(f_l (g'_2 N'_1 G) \subseteq G' / \sim_{G, l}\) is a neighborhood of \(g'_2 G \in G' / \sim_{G, l}\), likewise.
\(f_l (g'_1 N'_1 G) \cap f_l (g'_2 N'_1 G) = \emptyset\), because if \([g'] \in f_l (g'_1 N'_1 G) \cap f_l (g'_2 N'_1 G)\), \(f_l (g''_1) = [g'] = f_l (g''_2)\) for a \(g''_1 \in g'_1 N'_1 G\) and a \(g''_2 \in g'_2 N'_1 G\), which would mean that \(g''_1 G = g''_2 G\), which would imply that \({g''_1}^{-1} g''_2 = g \in G\), by the proposition that for any group, any \(2\) elements, and any subgroup, the left or right cosets of the subgroup by the elements are same if and only if the product of the inverse of an element and the other element or the product of an element and the inverse of the other element is contained in the subgroup, so, \(g''_2 = g''_1 g\), but as \(g''_1 \in g'_1 N'_1 G\), \(g''_2 \in g'_1 N'_1 G\), because while \(g''_1 = g'_1 n'_1 \widetilde{g}\) for an \(n'_1 \in N'_1\) and a \(\widetilde{g} \in G\), \(g''_2 = g''_1 g = g'_1 n'_1 \widetilde{g} g = g'_1 n'_1 (\widetilde{g} g)\) while \(\widetilde{g} g \in G\), a contradiction against \(g'_2 N'_1 G \cap g'_1 N'_1 G = \emptyset\).
So, \(G' / \sim_{G, l}\) is Hausdorff.
Step 4:
Let \(G g'_1, G g'_2 \in G' / \sim_{G, r}\) be any such that \(G g'_1 \neq G g'_2\).
\(g'_1 {g'_2}^{- 1} \notin G\), by the proposition that for any group, any \(2\) elements, and any subgroup, the left or right cosets of the subgroup by the elements are same if and only if the product of the inverse of an element and the other element or the product of an element and the inverse of the other element is contained in the subgroup.
So, \(g'_1 {g'_2}^{- 1} \in G' \setminus G\).
As \(G\) is closed, \(G' \setminus G\) is open, and \(G' \setminus G \subseteq G'\) is an open neighborhood of \(g'_1 {g'_2}^{- 1}\).
There is a symmetric neighborhood of \(1 \in G'\), \(N'_1 \subseteq G'\), such that \(N'_1 g'_1 {g'_2}^{- 1} N'_1 \subseteq G' \setminus G\), by the proposition that for any group with any topology with any continuous operations (especially, topological group), any element, and any neighborhood of the element, there is a symmetric neighborhood of \(1\) such that the element multiplied from left by the neighborhood of \(1\) and multiplied from right by the inverse of the neighborhood of \(1\) is contained in the neighborhood of the element.
So, \(N'_1 g'_1 {g'_2}^{- 1} N'_1 \cap G = \emptyset\).
\(N'_1 g'_1 {g'_2}^{- 1} \cap G N'_1 = \emptyset\), by the proposition that for any group, any \(2\) subsets, and any symmetric subset, if the intersection of the 1st subset and the product of the 2nd subset and the symmetric subset is empty, the intersection of the product of the 1st subset and the symmetric subset and the 2nd subset is empty.
\((N'_1 g'_1 {g'_2}^{- 1} \cap G N'_1) g'_2 = \emptyset g'_2 = \emptyset\), but the left hand side is \(N'_1 g'_1 {g'_2}^{- 1} g'_2 \cap G N'_1 g'_2\), by the proposition that for any group, any element, and any possibly uncountable number of subsets, the product of the element and the intersection of the subsets is the intersection of the products of the element and the subsets, \(= N'_1 g'_1 \cap G N'_1 g'_2\).
\(G N'_1 g'_1 \cap G N'_1 g'_2 = \emptyset\), by the proposition that for any group, any subgroup, and any \(2\) subsets, if the intersection of the 1st subset and the product of the 2nd subset and the subgroup is empty, the intersection of the product of the 1st subset and the subgroup and the product of the 2nd subset and the subgroup is empty.
\(f_r (G N'_1 g'_1) \subseteq G' / \sim_{G, r}\) is a neighborhood of \(G g'_1 \in G' / \sim_{G, r}\), because there is an open neighborhood of \(1\), \(U'_1 \subseteq G'\), such that \(U'_1 \subseteq N'_1\), and \(f_r (G U'_1 g'_1) \subseteq f_r (G N'_1 g'_1)\) while \(f_r (G U'_1 g'_1)\) is an open neighborhood of \(G g'_1\), because \(G U'_1 g'_1\) is open and \(f_r\) is open and \(g'_1 = 1 1 g'_1 \in G U'_1 g'_1\) and \(f_r (g'_1) = G g'_1\): \(G U'_1 g'_1 = \cup_{g \in G} g U'_1 g'_1\), and \(U'_1 g'_1\) is open and \(g U'_1 g'_1\) is open, by the proposition that for any group with any topology with any continuous operations (especially, topological group) and each element, the inversion map, the multiplication-by-element-from-left-or-right map, and the conjugation-by-element map are homeomorphisms.
\(f_r (G N'_1 g'_2) \subseteq G' / \sim_{G, r}\) is a neighborhood of \(G g'_2 \in G' / \sim_{G, r}\), likewise.
\(f_r (G N'_1 g'_1) \cap f_r (G N'_1 g'_2) = \emptyset\), because if \([g'] \in f_r (G N'_1 g'_1) \cap f_r (G N'_1 g'_2)\), \(f_r (g''_1) = [g'] = f_r (g''_2)\) for a \(g''_1 \in G N'_1 g'_1\) and a \(g''_2 \in G N'_1 g'_2\), which would mean that \(G g''_1 = G g''_2\), which would imply that \(g''_1 {g''_2}^{-1} = g \in G\), by the proposition that for any group, any \(2\) elements, and any subgroup, the left or right cosets of the subgroup by the elements are same if and only if the product of the inverse of an element and the other element or the product of an element and the inverse of the other element is contained in the subgroup, so, \(g''_1 = g g''_2\), but as \(g''_2 \in G N'_1 g'_2\), \(g''_1 \in G N'_1 g'_2\), because while \(g''_2 = \widetilde{g} n'_1 g'_2\) for an \(n'_1 \in N'_1\) and a \(\widetilde{g} \in G\), \(g''_1 = g g''_2 = g \widetilde{g} n'_1 g'_2 = (g \widetilde{g}) n'_1 g'_2\) while \(g \widetilde{g} \in G\), a contradiction against \(G N'_1 g'_1 \cap G N'_1 g'_2 = \emptyset\).
So, \(G' / \sim_{G, r}\) is Hausdorff.
