モジュール（加群）に対して、非ゼロ要素に非ゼロスカラーを掛けたものは必ずしも非ゼロでないことの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を知っている。
- 読者は、インテジャー（整数）たちモジュロナチュラルナンバー（自然数）リング（環）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリング（環）はカノニカル（正典）にあるモジュール（加群）で、ある\(1\)-要素ベーシス（基底）を持つという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のモジュール（加群）に対して、ある非ゼロ要素にある非ゼロスカラーを掛けたものは必ずしも非ゼロでないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
必ずしも以下ではない、つまり、"\(\forall m \in M \setminus \{0\}, \forall r \in R \setminus \{0\} (r m \neq 0)\)"
//
2: 注
それは、\(R\)がコミュータティブ（可換）でないからではなく、\(R\)がディビジョン（除算持ち）リング（環）でないからである: 任意のディビジョン（除算持ち）リング（環）上方の任意のモジュール（加群）に対して、各非ゼロ要素に各非ゼロスカラーを掛けたものは非ゼロであるという命題と比較のこと。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see an example such that \(r m = 0\).
Step 1:
Let \(R = \mathbb{Z} / 6\), the integers modulo natural number ring, and \(M = R\), which is indeed a module, by the proposition that any ring is canonically a module with a \(1\)-element basis.
\(R = M = \{[0], ..., [5]\}\)
For \([3] \in M \setminus \{0\}\) and \([2] \in R \setminus \{0\}\), \([2] [3] = [6] = [0] = 0\).
So, for an \(m \in M \setminus \{0\}\) and an \(r \in R \setminus \{0\}\), \(r m \neq 0\) does not necessarily hold.
