\(n \times n\)ユニタリマトリックス（行列）に対して、列たちセット（集合）および行たちセット（集合）の内の各々は、\(n\)-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でコンプレックス（複素）ユークリディアンインナープロダクト（内積）を持つもののオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）であることの記述/証明
話題
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(n \times n\)ユニタリマトリックス（行列）に対して、当該列たちセット（集合）および当該行たちセット（集合）の内の各々は、\(n\)-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でコンプレックス（複素）ユークリディアンインナープロダクト（内積）を持つもののあるオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } n \times n \text{ ユニタリマトリックス（行列）たち }\}\)
\(\mathbb{C}^n\): \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でコンプレックス（複素）ユークリディアンインナープロダクト（内積）を持つもの }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\{(M^1_1, ..., M^n_1), ..., (M^1_n, ..., M^n_n)\} \in \{\mathbb{C}^n \text{ の全てのオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）たち }\}\)
\(\land\)
\(\{(M^1_1, ..., M^1_n), ..., (M^n_1, ..., M^n_n)\} \in \{\mathbb{C}^n \text{ の全てのオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）たち }\}\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that the set of the columns is an orthonormal basis of \(\mathbb{C}^n\); Step 2: see that the set of the rows is an orthonormal basis of \(\mathbb{C}^n\).
Step 1:
\(\{(M^1_1, ..., M^n_1), ..., (M^1_n, ..., M^n_n)\}\) is the set of the columns of \(M\).
\(M^* M = I\), because \(M\) is unitary.
\((M^* M)^j_l = I^j_l = \delta^j_l\), but the left hand side is \({M^*}^j_m M^m_l = \sum_{m \in \{1, ..., n\}} \overline{M^m_j} M^m_l = \sum_{m \in \{1, ..., n\}} M^m_l \overline{M^m_j} = \langle (M^1_l, ..., M^n_l), (M^1_j, ..., M^n_j) \rangle\).
So, \(\langle (M^1_l, ..., M^n_l), (M^1_j, ..., M^n_j) \rangle = \delta^j_l\).
That means that the set of the columns is orthonormal.
The set of the columns is linearly independent, by the proposition that for any vectors space with any inner product, any set of nonzero orthogonal elements is linearly independent.
The set of the columns is a basis, by the proposition that for any finite-dimensional vectors space, any linearly independent subset with dimension number of elements is a basis.
Step 2:
\(\{(M^1_1, ..., M^1_n), ..., (M^n_1, ..., M^n_n)\}\) is the set of the rows of \(M\).
\(M M^* = I\), because \(M\) is unitary.
\((M M^*)^j_l = I^j_l = \delta^j_l\), but the left hand side is \(M^j_m {M^*}^m_l = \sum_{m \in \{1, ..., n\}} M^j_m \overline{M^l_m} = \langle (M^j_1, ..., M^j_n), (M^l_1, ..., M^l_n) \rangle\).
So, \(\langle (M^j_1, ..., M^j_n), (M^l_1, ..., M^l_n) \rangle = \delta^j_l\).
That means that the set of the rows is orthonormal.
The set of the rows is linearly independent, by the proposition that for any vectors space with any inner product, any set of nonzero orthogonal elements is linearly independent.
The set of the rows is a basis, by the proposition that for any finite-dimensional vectors space, any linearly independent subset with dimension number of elements is a basis.
