グループ（群）左アクションに関するポイントのスタビライザーに対して、スタビライザーの左コセット（剰余類）たちクオシエント（商）セット（集合）からポイントのオービット（軌道）の中へのカノニカル（正典）マップ（写像）はバイジェクション（全単射）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）左アクションに関するポイントのスタビライザーの定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）の要素によるサブグループ（部分群）の左または右コセット（剰余類）の定義を知っている。
- 読者は、クオシエント（商）セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）左アクションに関するポイントのオービット（軌道）の定義を知っている。
- 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）左アクションに関する任意のポイントのスタビライザーに対して、当該スタビライザーの左コセット（剰余類）たちクオシエント（商）セット（集合）から当該ポイントのオービット（軌道）の中へのカノニカル（正典）マップ（写像）はあるバイジェクション（全単射）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(f\): \(: G \times S \to S\), \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）左アクションたち }\}\)
\(s\): \(\in S\)
\(G_s\): \(= f \text{ に関する } s \text{ のスタビライザー }\)
\(G (s)\): \(= f \text{ に関する } s \text{ のオービット（軌道） }\)
\(\sim_{G_s, l}\): \(= \{(g_1, g_2) \in G \times G \vert \exists g \in G (g_1, g_2 \in g G_s)\}\), \(\in \{G \text{ 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)
\(\widetilde{f}\): \(: G / \sim_{G_s, l} \to G (s), [g] \mapsto g s\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\widetilde{f} \in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\)
//
2: 注
グループ（群）左アクションに対しては、スタビライザーの左コセット（剰余類）たちクオシエント（商）セット（集合）を取る必要がある、"スタビライザーの右コセット（剰余類）たちクオシエント（商）セット（集合）"ではなく、なぜなら、そうでなかったら、例えば、\(\widetilde{f}\)が妥当であることの証明に対して、それは、\(g_1 = g_{s, 1} g\)および\(g_2 = g_{s, 2} g\)および\(g_1 s = (g_{s, 1} g) s = g_{s, 1} (g s)\)および\(g_2 s = (g_{s, 2} g) s = g_{s, 2} (g s)\)になるが、それは、\(g_1 s = g_2 s\)を含意しないことになる。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(\sim_{G_s, l}\) is indeed an equivalence relation; Step 2: see that \(\widetilde{f}\) is valid; Step 3: see that \(\widetilde{f}\) is a bijection.
Step 1:
\(\sim_{G_s, l}\) is an equivalence relation on \(G\), by the proposition that for any group and any subgroup, being in any same coset is an equivalence relation.
Step 2:
Let us see that \(\widetilde{f}\) is valid.
Let \([g_1], [g_2] \in G / \sim_{G_s, l}\) be any such that \([g_1] = [g_2]\).
There is a \(g \in G\) such that \(g_1, g_2 \in g G_s\), which means that \(g_1 = g g_{s, 1}\) and \(g_2 = g g_{s, 2}\) for some \(g_{s, 1}, g_{s, 2} \in G_s\).
\(g_1 s = (g g_{s, 1}) s = g (g_{s, 1} s) = g s\) and \(g_2 s = (g g_{s, 2}) s = g (g_{s, 2} s) = g s\), so, \(g_1 s = g_2 s \in G (s)\).
So, \(\widetilde{f}\) is valid.
Step 3:
Let us see that \(\widetilde{f}\) is an injection.
Let \([g_1], [g_2] \in G / \sim_{G_s, l}\) be any such that \([g_1] \neq [g_2]\).
Let us suppose that \(\widetilde{f} ([g_1]) = \widetilde{f} ([g_2])\).
\(g_1 s = g_2 s\).
\({g_2}^{- 1} (g_1 s) = {g_2}^{- 1} (g_2 s)\), but the left hand side was \(({g_2}^{- 1} g_1) s\) and the right hand side was \(({g_2}^{- 1} g_2) s = 1 s = s\).
So, \({g_2}^{- 1} g_1 \in G_s\).
\(g_1 \in g_2 G_s\), which would imply that \([g_1] = [g_2]\), because \(g_2 \in g_2 G_s\), a contradiction against \([g_1] \neq [g_2]\).
So, \(\widetilde{f} ([g_1]) \neq \widetilde{f} ([g_2])\).
So, \(\widetilde{f}\) is an injection.
\(\widetilde{f}\) is a surjection, because for each \(g s \in G (s)\), \(\widetilde{f} ([g]) = g s\).
So, \(\widetilde{f}\) is a surjection.
So, \(\widetilde{f}\) is a bijection.
