クォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群）に対して、オーソゴーナル（直交）サブセット（部分集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）であることの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、クォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群）の定義を知っている。
- 読者は、クォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群）のオーソゴーナル（直交）サブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のクォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群）に対して、任意のオーソゴーナル（直交）サブセット（部分集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(\mathbb{H}^n\): \(= \text{ 当該クォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群） }\)で、行たちのセット（集合）とみなしたもの
\(S\): \(\in \{\mathbb{H}^n \text{ の全てのオーソゴーナル（直交）サブセット（部分集合）たち }\}\): \(\forall s \in S (s \neq 0) \land \forall s_1, s_2 \in S \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } s_1 \neq s_2 (s_1 {s_2}^* = 0)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{\mathbb{H}^n \text{ の全てのリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）たち }\}\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: take any finite subset, \(S^` = \{s^1, ..., s^m\} \subseteq S\), let \(h_1 s^1 + ... + h_m s^m = 0\), and see that all the \(h_j\) s are \(0\).
Step 1:
Let \(S^` = \{s^1, ..., s^m\} \subseteq S\) be any finite subset.
Let \(h_1 s^1 + ... + h_m s^m = 0\) where \(h_1, ..., h_m \in \mathbb{H}\) are any.
For each \(j \in \{1, ..., m\}\), \((h_1 s^1 + ... + h_m s^m) {s^j}^* = 0 {s^j}^* = 0\), but the left hand side is \(h_1 s^1 {s^j}^* + ... + h_m s^m {s^j}^* = h_j s^j {s^j}^*\) where \(s^j {s^j}^* \neq 0\), because \(S\) is orthogonal, so, \(h_j (s^j {s^j}^*) = 0\), and \(h_j (s^j {s^j}^*) (s^j {s^j}^*)^{- 1} = 0 (s^j {s^j}^*)^{- 1}\), which is possible, because \(\mathbb{H}\) is a division ring, so, \(h_j = h_j 1 = 0\).
So, \(S\) is linearly independent.
