クォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群）および\(2\)個の同一カーディナリティ（濃度）オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）たちに対して、オーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）でサブセット（部分集合）たちの内の一方を他方にマップしそのカノニカル（正典）レプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はシンプレクティックであるものがあることの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、クォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群）の定義を知っている。
- 読者は、クォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群）のオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、クォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群）たち間オーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）の定義を認めている。
- 読者は、リング（環）のコピーたちのファイナイト（有限）プロダクトモジュール（加群）たち間のリニアマップ（線形写像）のカノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、\(n \times n\)シンプレクティックマトリックス（行列）たちトポロジカルグループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、クォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群）のカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）のグラム-シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）の定義を知っている。
- 読者は、任意のクォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群）に対して、任意のオーソゴーナル（直交）サブセット（部分集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の同一リング（環）上方の、モジュール（加群）で任意の\(d_1\)個要素たちベーシス（基底）を持つ任意のものからモジュール（加群）で任意の\(d_2\)個要素たちベーシス（基底）を持つ任意のものの中への任意のマップ（写像）に対して 、当該マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、当該マップ（写像）は当該\(d_1 \times d_2\)リング（環）マトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のクォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のクォータニオン（4元数）コンジュゲート（共役）トランスポーズ（転置）は当該構成要素たちのクォータニオン（4元数）コンジュゲート（共役）トランスポーズ（転置）たちの逆順によるプロダクト（積）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(n \times n\)クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）に対して、もしも、各\(n\)列または行要素に対して、当該マトリックス（行列）に当該要素および当該要素のクォータニオン（4元数）コンジュゲート（共役）トランスポーズ（転置）を掛けたものが当該要素に当該要素のクォータニオン（4元数）コンジュゲート（共役）トランスポーズ（転置）を掛けたものである場合、そしてその場合に限って、当該マトリックス（行列）はアイデンティティ（単位行列）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のクォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群）および任意の\(2\)個の同一カーディナリティ（濃度）オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）たちに対して、あるオーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）で当該サブセット（部分集合）たちの内の任意の一方を他方にマップしそのカノニカル（正典）レプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はシンプレクティックであるものがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(\mathbb{H}^n\): \(= \text{ クォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群） }\)、行たちのセット（集合）とみなしたもの
\(S\): \(= \{b^1, ..., b^k\} \in \{\mathbb{H}^n \text{ の全てのオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）たち }\}\): \(\forall b^j, b^l \in S (b^j {b^l}^* = \delta^j_l)\)
\(S'\): \(= \{b'^1, ..., b'^k\} \in \{\mathbb{H}^n \text{ の全てのオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）たち }\}\) \(\forall b'^j, b'^l \in S' (b'^j {b'^l}^* = \delta^j_l)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists f: \mathbb{H}^n \to \mathbb{H}^n, \in \{\text{ 全てのオーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像） }\} (\forall j \in \{1, ..., k\} (f (b^j) = b'^j) \land M, f \text{ の } \mathbb{H}^d \text{ のカノニカル（正典）ベーシス（基底）に関するレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列） }, \in \{\text{ 全てのシンプレクティックマトリックス（行列）たち }\})\)
//
ここでの、"あるオーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）である"は、\(\forall m \in \mathbb{H}^n (f (m) f (m)^* = m m^*)\)を意味する。
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: take any orthonormal bases, \(B = (b^1, ..., b^k, b^{k + 1}, ..., b^n)\) and \(B' = (b'^1, ..., b'^k, b'^{k + 1}, ..., b'^n)\), and define the linear map, \(f: \mathbb{H}^n \to \mathbb{H}^n, v = v_j b^j \mapsto v_j b'^j\); Step 2: see that \(f\) is orthogonal and that the canonical representative matrix is symplectic.
Step 1:
Let us take any orthonormal basis, \(B = (b^1, ..., b^k, b^{k + 1}, ..., b^n)\) of \(\mathbb{H}^n\), which is possible, by the proposition that for any quaternion Euclidean module, any orthogonal subset is linearly independent, the proposition that for any module over any division ring with any finite basis, any linearly independent subset can be supplemented with some elements of the basis to be a basis, and the definition of Gram-Schmidt orthonormalization of countable subset of quaternion Euclidean module.
Let us take any orthonormal basis, \(B' = (b'^1, ..., b'^k, b'^{k + 1}, ..., b'^n)\) of \(\mathbb{H}^n\), which is possible, likewise.
Let us define the map, \(f: \mathbb{H}^d \to \mathbb{H}^d, m = m_j b^j \mapsto m_j b'^j\), which is linear, because for each \(m_1 = {m_1}_j b^j, m_2 = {m_2}_j b^j \in \mathbb{H}^d\) and each \(r_1, r_2 \in \mathbb{H}\), \(f (r_1 m_1 + r_2 m_2) = f (r_1 {m_1}_j b^j + r_2 {m_2}_j b^j) = f ((r_1 {m_1}_j + r_2 {m_2}_j) b^j) = (r_1 {m_1}_j + r_2 {m_2}_j) b'^j = r_1 ({m_1}_j b'^j) + r_2 ({m_2}_j b'^j) = r_1 f (m_1) + r_2 f (m_2)\)
\(f (m) = m M\), by the proposition that for any map from any module with any \(d_1\)-elements basis into any module with any \(d_2\)-elements basis over any same ring, the map is linear if and only if the map is represented by the \(d_1 \times d_2\) ring matrix: that is with respect to the canonical basis of \(\mathbb{H}^n\).
Step 2:
\(f\) is orthogonal, because for each \(m = m_j b^j \in \mathbb{H}^n\), \(f (m) f (m)^* = f (m_j b^j) f (m_l b^l)^* = (m_j b'^j) (m_l b'^l)^* = (m_j b'^j) ({b'^l}^* {m_l}^*)\), by the proposition that the quaternion-conjugate-transpose of the product of any quaternion matrices is the product of the quaternion-conjugate-transposes of the constituents in the reverse order, \(= m_j (b'^j {b'^l}^*) {m_l}^*= m_j \delta^j_l {m_l}^*\), because \(B'\) is orthonormal, \(= m_j (b^j {b^l}^*) {m_l}^*\), because \(B\) is orthonormal, \(= (m_j b^j) ({b^l}^* {m_l}^*) = (m_j b^j) (m_l b^l)^*\), by the proposition that the quaternion-conjugate-transpose of the product of any quaternion matrices is the product of the quaternion-conjugate-transposes of the constituents in the reverse order, \(= m m^*\).
So, \(m m^* = f (m) f (m)^* = (m M) (m M)^* = (m M) M^* m^*\), by the proposition that the quaternion-conjugate-transpose of the product of any quaternion matrices is the product of the quaternion-conjugate-transposes of the constituents in the reverse order, \(= m (M M^*) m^*\).
\(M M^* = I\), by the proposition that for any \(n \times n\) quaternion matrix, if and only if for each \(n\)-column-or-row element, the matrix multiplied by the element and the quaternion-conjugate-transpose of the element is the element multiplied by the quaternion-conjugate-transpose of the element, the matrix is identity.
That means that \(M\) is symplectic: refer to Note for the definition of \(n \times n\) symplectic matrices group.
