ノルム付きベクトルたちスペース（空間）のオープンサブセット（開部分集合）からノルム付きベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）のポイントにおけるデリバティブ（微分係数）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）の定義を知っている。
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）のオープンサブセット（開部分集合）からノルム付きベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）のポイントにおけるデリバティブ（微分係数）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( V_1\): \(\in \{\text{ 全てのノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、当該ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\( V_2\): \(\in \{\text{ 全てのノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( U_1\): \(\in \{V_1 \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
\( S_2\): \(\in \{V_2 \text{ の全てのサブセット（部分集合）たち }\}\)
\( f\): \(: U_1 \to S_2\)
\( u_1\): \(\in U_1\)
\(*{D f}_{u_1}\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall u_1 + u'_1 \in U_1 (f (u_1 + u'_1) = f (u_1) + {D f}_{u_1} (u'_1) + r (u_1, u'_1))\)、ここで、\(\lim_{\Vert u'_1 \Vert \to 0} \Vert r (u_1, u'_1) \Vert / \Vert u'_1 \Vert = 0\)
//
2: 注
\({D f}_{u_1}\)は必ずしも存在しない。
\({D f}_{u_1}\)が存在する時、それはユニークであることを見よう。
任意の他のデリバティブ（微分係数）\(g: V_1 \to V_2\)があったと仮定しよう。
\(f (u_1 + u'_1) = f (u_1) + g (u'_1) + r' (u_1, u'_1)\)、ここで、\(\lim_{\Vert u'_1 \Vert \to 0} \Vert r' (u_1, u'_1) \Vert / \Vert u'_1 \Vert = 0\)。
\({D f}_{u_1} (u'_1) - g (u'_1) + r (u_1, u'_1) - r' (u_1, u'_1) = 0\)。
\(\Vert {D f}_{u_1} (u'_1) - g (u'_1) \Vert = \Vert {D f}_{u_1} (u'_1) - g (u'_1) + r (u_1, u'_1) - r' (u_1, u'_1) - (r (u_1, u'_1) - r' (u_1, u'_1)) \Vert = \Vert 0 - (r (u_1, u'_1) - r' (u_1, u'_1)) \Vert = \Vert (r (u_1, u'_1) - r' (u_1, u'_1)) \Vert \le \Vert r (u_1, u'_1) \Vert + \Vert r' (u_1, u'_1) \Vert\)。
\(\lim_{\Vert u'_1 \Vert \to 0} \Vert {D f}_{u_1} (u'_1) - g (u'_1) \Vert / \Vert u'_1 \Vert \le \lim_{\Vert u'_1 \Vert \to 0} (\Vert r (u_1, u'_1) \Vert + \Vert r' (u_1, u'_1) \Vert) / \Vert u'_1 \Vert = \lim_{\Vert u'_1 \Vert \to 0} \Vert r (u_1, u'_1) \Vert / \Vert u'_1 \Vert + \lim_{\Vert u'_1 \Vert \to 0} \Vert r' (u_1, u'_1) \Vert) / \Vert u'_1 \Vert = 0 + 0 = 0\)。
\({D f}_{u_1} (u'_1) - g (u'_1)\)は、\(u'_1\)に関してリニア（線形）である、したがって、\({D f}_{u_1} (r u'_1) - g (r u'_1) = r ({D f}_{u_1} (u'_1) - g (u'_1))\)、そして、\(\lim_{r \to 0} \Vert {D f}_{u_1} (r u'_1) - g (r u'_1) \Vert / \Vert r u'_1 \Vert = \lim_{r \to 0} \Vert r ({D f}_{u_1} (u'_1) - g (u'_1)) \Vert / (\vert r \vert \Vert u'_1 \Vert) = \lim_{r \to 0} \vert r \vert \Vert {D f}_{u_1} (u'_1) - g (u'_1) \Vert / (\vert r \vert \Vert u'_1 \Vert) = \lim_{r \to 0} \Vert {D f}_{u_1} (u'_1) - g (u'_1) \Vert / \Vert u'_1 \Vert = 0\)、したがって、\(\Vert {D f}_{u_1} (u'_1) - g (u'_1) \Vert = 0\)、それが含意するのは、\({D f}_{u_1} (u'_1) - g (u'_1) = 0\)。
それは以下を満たす各\(u'_1 \in V_1\)、つまり、\(u_1 + u'_1 \in U_1\)、に対してのみ成立するが、各\(u''_1 \in V_1\)に対して、\(U_1\)はオープン（開）であるから、以下を満たす十分小さいある\(r \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt r\)および\(u_1 + r u''_1 \in U_1\)、がある、したがって、\({D f}_{u_1} (r u''_1) - g (r u''_1) = 0\)、しかし、左辺は\(r ({D f}_{u_1} (u''_1) - g (u''_1))\)である、したがって、\({D f}_{u_1} (u''_1) - g (u''_1) = 0\)。
したがって、\({D f}_{u_1} = g\)。
