アファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）は、カノニカル（自然な）トポロジーを持つアファインシンプレックス（単体）上でオープン（開）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、アファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）\(C^\infty\)アトラスの定義を知っている。
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のアファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）は、カノニカル（自然な）トポロジーを持つアファインシンプレックス（単体）上でオープン（開）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)でカノニカル（自然な）トポロジーを持つもの
\(\{p_0, ..., p_n\}\): \(\subseteq V\), \(\in \{V\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }\}\)
\([p_0, ..., p_n]\): \(= \text{ 当該アファインシンプレックス }\)で、\(V\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたもの
//
ステートメント（言明）たち:
\([p_0, ..., p_n]^\circ \in \{[p_0, ..., p_n]\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\).
//
2: 自然言語記述
任意の\(d\)ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V\)でカノニカル（自然な）トポロジーを持つもの、\(V\)上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）セット（集合）\(\{p_0, ..., p_n\} \subseteq V\)、当該アファインシンプレックス（単体）\([p_0, ..., p_n]\)で\(V\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものに対して、シンプレックスインテリア（内部）\([p_0, ..., p_n]^\circ\)は\([p_0, ..., p_n]\)のオープンサブセット（開部分集合）である。
3: 証明
\([p_0, ..., p_n]^\circ = [p_0, ..., p_n] \setminus \cup_{j \in J} F_j\)、ここで、\(\{F_j \vert j \in J\}\)は\([p_0, ..., p_n]\)の全てのプロパー（真）フェイスたちのセット（集合）である。
\(n = 0\)である時、\([p_0]^\circ = [p_0]\)、それは、\([p_0]\)上でオープン（開）である。
\(1 \le n\)であると仮定しよう。
\((V, \phi)\)を\(V\)の任意のベーシス（基底）\(\{p_1 - p_0, ..., p_n - p_0, b_{n + 1}, ..., b_d\} \subseteq V\)に関するカノニカル（自然な）チャートとしよう。
任意の\(p' \in [p_0, ..., p_n]\)に対して、\(p' = \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t'^j p_j = \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t'^j (p_j - p_0) + \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t'^j p_0 = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} t'^j (p_j - p_0) + p_0\)、それが意味するのは、\(\phi (p') = (t'^1 + p^1_0, ..., t'^n + p^n_0, p^{n + 1}_0, ..., p^d_0)\)、ここで、\(\phi (p_0) = (p^1_0, ..., p^d_0)\)。
\(p \in [p_0, ..., p_n] \setminus \cup_{j \in J} F_j\)は任意のものであるとしょう。\(\phi (p) = (t^1 + p^1_0, ..., t^n + p^n_0, p^{n + 1}_0, ..., p^d_0)\)。
以下を満たす\(\delta\)、つまり、\(0 \lt \delta \lt min (t^1, ..., t^n, (1 - \sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j) / n, 1 - t^1, ..., 1 - t^n, (\sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j) / n)\): \(0 \lt min (t^1, ..., t^n, (1 - (\sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j)) / n, 1 - t^1, ..., 1 - t^n, (\sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j) / n)\)、なぜなら、\(p\)は\([p_0, ..., p_n]\)の何らのプロパー（真）フェイス上にもない（あるプロパー（真）フェイス上にあることの条件は、ある\(j \in \{0, ..., n\}\)に対して\(t^j = 0\)であること、ここで、\(t^0 = 1 - (\sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j)\)で、\(t^j = 1\)は、\(k \neq j\)に対して\(t^k = 0\)であることを含意する）、を取ろう。\(U_{\phi (p)} = (t^1 + p^1_0 - \delta, t^1 + p^1_0 + \delta) \times ... \times (t^n + p^n_0 - \delta, t^n + p^n_0 + \delta) \times (p^{n + 1}_0 - \delta, p^{n + 1}_0 + \delta) \times ... \times (p^d_0 - \delta, p^d_0 + \delta) \subseteq \mathbb{R}^d\)、\(\phi (p)\)の\(\mathbb{R}^d\)上のあるオープンネイバーフッド（開近傍）、を取ろう。
\(U_{\phi (p)} \cap \phi ([p_0, ..., p_n])\)、\(\phi (p)\)の\(\phi ([p_0, ..., p_n])\)上のあるオープンネイバーフッド（開近傍）、は\((t^1 + p^1_0 - \delta, t^1 + p^1_0 + \delta) \times ... \times (t^n + p^n_0 - \delta, t^n + p^n_0 + \delta) \times \{p^{n + 1}_0\} \times ... \times \{p^d_0\}\)、なぜなら、\(\delta\)は、\(0 \lt t^j - \delta \lt t^j + \delta \lt 1\)で\(0 \lt 1 - (\sum_{j \in \{1, ..., n\}} (t^j + \delta)) = 1 - (\sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j) - n \delta \lt 1 - (\sum_{j \in \{1, ..., n\}} (t^j - \delta)) = 1 - (\sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j) + n \delta \lt 1\)であるように選ばれた: 任意の\(v = (t'^1 + p^1_0, ..., t'^n + p^n_0, p^{n + 1}_0, p^d_0) \in (t^1 + p^1_0 - \delta, t^1 + p^1_0 + \delta) \times ... \times (t^n + p^n_0 - \delta, t^n + p^n_0 + \delta) \times \{p^{n + 1}_0\} \times ... \times \{p^d_0\}\)に対して、\(t^j + p^j_0 - \delta \lt t'^j + p^j_0 \lt t^j + p^j_0 + \delta\)、それが含意するのは、\(0 \lt t^j - \delta \lt t'^j \lt t^j + \delta \lt 1\)および\(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j - n \delta \lt \sum_{j \in \{1, ..., n\}} t'^j \lt \sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j + n \delta\)、それが含意するのは、\(0 \lt 1 - \sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j - n \delta \lt 1 - \sum_{j \in \{1, ..., n\}} t'^j \lt 1 - \sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j + n \delta \lt 1\)、したがって、以下を満たす\(p' = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} t'^j (p_j - p_0) + p_0 \in [p_0, ..., p_n]\)、つまり、\(\phi (p') = v\)、がある。\(U_{\phi (p)} \cap \phi ([p_0, ..., p_n]) \subseteq \phi ([p_0, ..., p_n] \setminus \cup_{j \in J} F_j)\)、なぜなら、ある\(F_j\)上にあることは、ある\(k \in \{0, ..., n\}\)に対して\(t'^k = 0\)であることを意味するが、私たちは既に\(j \in \{0, ..., n\}\)に対して\(0 \lt t'^j \lt 1\)であることを知っている。
\(\phi\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるから、\(\phi^{-1} (U_{\phi (p)} \cap \phi ([p_0, ..., p_n]))\)は、\(p\)の\([p_0, ..., p_n]\)上の以下を満たすオープンネイバーフッド（開近傍）、つまり、\(\phi^{-1} (U_{\phi (p)} \cap \phi ([p_0, ..., p_n])) \subseteq [p_0, ..., p_n] \setminus \cup_{j \in J} F_j\)、である。したがって、\([p_0, ..., p_n] \setminus \cup_{j \in J} F_j\)は\([p_0, ..., p_n]\)上でオープン（開）である、オープン（開）であることのローカル基準によって。
