576: アファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）は、カノニカル（自然な）トポロジーを持つアファインシンプレックス（単体）上でオープン（開）である

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

アファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）は、カノニカル（自然な）トポロジーを持つアファインシンプレックス（単体）上でオープン（開）であることの記述/証明

---

話題

About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、アファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）$C^{\mathrm{\infty }}$アトラスの定義を知っている。
• 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のアファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）は、カノニカル（自然な）トポロジーを持つアファインシンプレックス（単体）上でオープン（開）であるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$でカノニカル（自然な）トポロジーを持つもの
$\{p_0,...,p_n\}$: $\subseteq V$, $\in \{V\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }\}$
$[p_0,...,p_n]$: $=\text{ 当該アファインシンプレックス }$で、$V$のトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたもの
//

ステートメント（言明）たち:
$[p_0,...,p_n{]}^{\circ }\in \{[p_0,...,p_n]\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}$.
//

---

2: 自然言語記述

任意の$d$ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V$でカノニカル（自然な）トポロジーを持つもの、$V$上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）セット（集合）$\{p_0,...,p_n\}\subseteq V$、当該アファインシンプレックス（単体）$[p_0,...,p_n]$で$V$のトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものに対して、シンプレックスインテリア（内部）$[p_0,...,p_n{]}^{\circ }$は$[p_0,...,p_n]$のオープンサブセット（開部分集合）である。

---

3: 証明

$[p_0,...,p_n{]}^{\circ }=[p_0,...,p_n]\setminus {\cup }_{j\in J}{F}_j$、ここで、$\{F_j|j\in J\}$は$[p_0,...,p_n]$の全てのプロパー（真）フェイスたちのセット（集合）である。

$n=0$である時、$[p_0{]}^{\circ }=[p_0]$、それは、$[p_0]$上でオープン（開）である。

$1\le n$であると仮定しよう。

$(V,\varphi )$を$V$の任意のベーシス（基底）$\{p_1-p_0,...,p_n-p_0,b_{n+1},...,b_d\}\subseteq V$に関するカノニカル（自然な）チャートとしよう。

任意の$p^{\prime }\in [p_0,...,p_n]$に対して、$p^{\prime }=\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^{\prime j}{p}_j=\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^{\prime j}(p_j-p_0)+\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^{\prime j}{p}_0=\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^{\prime j}(p_j-p_0)+p_0$、それが意味するのは、$\varphi (p^{\prime })=(t^{\prime 1}+p_0^1,...,t^{\prime n}+p_0^n,p_0^{n+1},...,p_0^d)$、ここで、$\varphi (p_0)=(p_0^1,...,p_0^d)$。

$p\in [p_0,...,p_n]\setminus {\cup }_{j\in J}{F}_j$は任意のものであるとしょう。$\varphi (p)=(t^1+p_0^1,...,t^n+p_0^n,p_0^{n+1},...,p_0^d)$。

以下を満たす$\delta$、つまり、$0<\delta <min(t^1,...,t^n,(1-\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^j)/n,1-t^1,...,1-t^n,(\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^j)/n)$: $0<min(t^1,...,t^n,(1-(\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^j))/n,1-t^1,...,1-t^n,(\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^j)/n)$、なぜなら、$p$は$[p_0,...,p_n]$の何らのプロパー（真）フェイス上にもない（あるプロパー（真）フェイス上にあることの条件は、ある$j\in \{0,...,n\}$に対して$t^j=0$であること、ここで、$t^0=1-(\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^j)$で、$t^j=1$は、$k\ne j$に対して$t^k=0$であることを含意する）、を取ろう。$U_{\varphi (p)}=(t^1+p_0^1-\delta ,t^1+p_0^1+\delta )\times ...\times (t^n+p_0^n-\delta ,t^n+p_0^n+\delta )\times (p_0^{n+1}-\delta ,p_0^{n+1}+\delta )\times ...\times (p_0^d-\delta ,p_0^d+\delta )\subseteq {\mathbb{R}}^d$、$\varphi (p)$の${\mathbb{R}}^d$上のあるオープンネイバーフッド（開近傍）、を取ろう。

$U_{\varphi (p)}\cap \varphi ([p_0,...,p_n])$、$\varphi (p)$の$\varphi ([p_0,...,p_n])$上のあるオープンネイバーフッド（開近傍）、は$(t^1+p_0^1-\delta ,t^1+p_0^1+\delta )\times ...\times (t^n+p_0^n-\delta ,t^n+p_0^n+\delta )\times \{p_0^{n+1}\}\times ...\times \{p_0^d\}$、なぜなら、$\delta$は、$0<t^j-\delta <t^j+\delta <1$で$0<1-(\sum _{j\in \{1,...,n\}}(t^j+\delta ))=1-(\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^j)-n\delta <1-(\sum _{j\in \{1,...,n\}}(t^j-\delta ))=1-(\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^j)+n\delta <1$であるように選ばれた: 任意の$v=(t^{\prime 1}+p_0^1,...,t^{\prime n}+p_0^n,p_0^{n+1},p_0^d)\in (t^1+p_0^1-\delta ,t^1+p_0^1+\delta )\times ...\times (t^n+p_0^n-\delta ,t^n+p_0^n+\delta )\times \{p_0^{n+1}\}\times ...\times \{p_0^d\}$に対して、$t^j+p_0^j-\delta <t^{\prime j}+p_0^j<t^j+p_0^j+\delta$、それが含意するのは、$0<t^j-\delta <t^{\prime j}<t^j+\delta <1$および$\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^j-n\delta <\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^{\prime j}<\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^j+n\delta$、それが含意するのは、$0<1-\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^j-n\delta <1-\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^{\prime j}<1-\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^j+n\delta <1$、したがって、以下を満たす$p^{\prime }=\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^{\prime j}(p_j-p_0)+p_0\in [p_0,...,p_n]$、つまり、$\varphi (p^{\prime })=v$、がある。$U_{\varphi (p)}\cap \varphi ([p_0,...,p_n])\subseteq \varphi ([p_0,...,p_n]\setminus {\cup }_{j\in J}{F}_j)$、なぜなら、ある$F_j$上にあることは、ある$k\in \{0,...,n\}$に対して$t^{\prime k}=0$であることを意味するが、私たちは既に$j\in \{0,...,n\}$に対して$0<t^{\prime j}<1$であることを知っている。

$\varphi$はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるから、${\varphi }^{-1}(U_{\varphi (p)}\cap \varphi ([p_0,...,p_n]))$は、$p$の$[p_0,...,p_n]$上の以下を満たすオープンネイバーフッド（開近傍）、つまり、${\varphi }^{-1}(U_{\varphi (p)}\cap \varphi ([p_0,...,p_n]))\subseteq [p_0,...,p_n]\setminus {\cup }_{j\in J}{F}_j$、である。したがって、$[p_0,...,p_n]\setminus {\cup }_{j\in J}{F}_j$は$[p_0,...,p_n]$上でオープン（開）である、オープン（開）であることのローカル基準によって。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>