577: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のシンプリシャルコンプレックスの要素はコンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトである

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ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のシンプリシャルコンプレックスの要素はコンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、シンプリシャルコンプレックスの定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のアファインシンプレックス（単体）はカノニカル（自然な）トポロジカルスーパースペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）でコンパクトであるものは当該サブスペース（部分空間）でコンパクトであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のシンプリシャルコンプレックスの各要素は当該コンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全ての}d\text{ ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$C$: $\in \{V\text{ 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }\}$
$|C|$: $=C\text{ のアンダーライイング（下にある）スペース（空間） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\forall }{S}_{\alpha }\in C(S_{\alpha }\in \{|C|\text{ の全てのクローズドサブセット（部分集合）たち }\}\cap \{|C|\text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\})$
//

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2: 自然言語記述

任意の$d$ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）$V$、$V$上の任意のシンプリシャルコンプレックス$C$、$C$のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）$|C|$に対して、各$S_{\alpha }\in C$は$|C|$のクローズド（閉）でコンパクトなサブセット（部分集合）である。

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3: 証明

$S_{\alpha }$は$V$上のアファインシンプレックス（単体）であるから、$S_{\alpha }$は$V$上でクローズド（閉）でコンパクトである、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のアファインシンプレックス（単体）はカノニカル（自然な）トポロジカルスーパースペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであるという命題によって。

$S_{\alpha }=S_{\alpha }\cap |C|$であるので、$S_{\alpha }$は$|C|$のクローズドサブセット（閉部分集合）である。

$S_{\alpha }$は$|C|$上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）でコンパクトであるものは当該サブスペース（部分空間）でコンパクトであるという命題によって。

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参考資料

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