ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のアファインシンプレックス（単体）はカノニカル（自然な）トポロジカルスーパースペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、アファインシンプレックス（単体）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）の中への任意のアファインシンプレックス（単体）マップ（写像）はドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）のカノニカル（自然な）トポロジーたちに関してコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のアファインシンプレックス（単体）マップ（写像）のドメイン（定義域）は当該ユークリディアントポロジカルスーパースペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）のイメージ（像）はコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のアファインシンプレックス（単体）はカノニカル（自然な）トポロジカルスーパースペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)でカノニカル（自然な）トポロジーを持つもの
\(\{p_0, ..., p_n\}\): \(\subseteq V\), \(\in \{V\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }\}\)
\([p_0, ..., p_n]\): \(= \text{ 当該アファインシンプレックス }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\([p_0, ..., p_n]\)は\(V\)上でクローズド（閉）でコンパクトである。
//
\([p_0, ..., p_n]\)はそれ自体としてコンパクトトポロジカルスペース（空間）である、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。
2: 自然言語記述
任意の\(d\)ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V\)でカノニカル（自然な）トポロジーを持つもの、\(V\)上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）セット（集合）\(\{p_0, ..., p_n\} \subseteq V\)に対して、当該アファインシンプレックス（単体）\([p_0, ..., p_n]\)は\(V\)上でクローズド（閉）でコンパクトである。
3: 証明
当該アファインシンプレックス（単体）マップ（写像）\(f: T \to V, t = (t^0, ..., t^n) \mapsto \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j p_j\)、ここで、\(T := \{t = (t^0, ..., t^n) \in \mathbb{R}^{n + 1} \vert \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j = 1 \land 0 \le t^j\} \subseteq \mathbb{R}^{n + 1}\)で\(\mathbb{R}^{n + 1}\)のサブスペース（部分空間）とみなしたもの、に対して、\(f\)はコンティニュアス（連続）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）の中への任意のアファインシンプレックス（単体）マップ（写像）はドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）のカノニカル（自然な）トポロジーたちに関してコンティニュアス（連続）であるという命題によって、そして、\(T\)はコンパクトである、任意のアファインシンプレックス（単体）マップ（写像）のドメイン（定義域）は当該ユークリディアントポロジカルスーパースペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであるという命題によって。
したがって、\([p_0, ..., p_n]\)は\(V\)上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）のイメージ（像）はコンパクトであるという命題によって。
\(V\)はハウスドルフトポロジカルスペース（空間）である（なぜなら、\(V\)は\(\mathbb{R}^d\)へホメオモーフィズム（位相同形写像）であり、\(\mathbb{R}^d\)はハウスドルフである）から、\([p_0, ..., p_n]\)は\(V\)上でクローズド（閉）である、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって。
