575: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のアファインシンプレックス（単体）はカノニカル（自然な）トポロジカルスーパースペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトである

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ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のアファインシンプレックス（単体）はカノニカル（自然な）トポロジカルスーパースペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、アファインシンプレックス（単体）の定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
• 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）の中への任意のアファインシンプレックス（単体）マップ（写像）はドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）のカノニカル（自然な）トポロジーたちに関してコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のアファインシンプレックス（単体）マップ（写像）のドメイン（定義域）は当該ユークリディアントポロジカルスーパースペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）のイメージ（像）はコンパクトであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のアファインシンプレックス（単体）はカノニカル（自然な）トポロジカルスーパースペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$でカノニカル（自然な）トポロジーを持つもの
$\{p_0,...,p_n\}$: $\subseteq V$, $\in \{V\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }\}$
$[p_0,...,p_n]$: $=\text{ 当該アファインシンプレックス }$
//

ステートメント（言明）たち:
$[p_0,...,p_n]$は$V$上でクローズド（閉）でコンパクトである。
//

$[p_0,...,p_n]$はそれ自体としてコンパクトトポロジカルスペース（空間）である、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。

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2: 自然言語記述

任意の$d$ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V$でカノニカル（自然な）トポロジーを持つもの、$V$上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）セット（集合）$\{p_0,...,p_n\}\subseteq V$に対して、当該アファインシンプレックス（単体）$[p_0,...,p_n]$は$V$上でクローズド（閉）でコンパクトである。

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3: 証明

当該アファインシンプレックス（単体）マップ（写像）$f:T\to V,t=(t^0,...,t^n)\mapsto \sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j{p}_j$、ここで、$T:=\{t=(t^0,...,t^n)\in {\mathbb{R}}^{n+1}|\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j=1\wedge 0\le t^j\}\subseteq {\mathbb{R}}^{n+1}$で${\mathbb{R}}^{n+1}$のサブスペース（部分空間）とみなしたもの、に対して、$f$はコンティニュアス（連続）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）の中への任意のアファインシンプレックス（単体）マップ（写像）はドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）のカノニカル（自然な）トポロジーたちに関してコンティニュアス（連続）であるという命題によって、そして、$T$はコンパクトである、任意のアファインシンプレックス（単体）マップ（写像）のドメイン（定義域）は当該ユークリディアントポロジカルスーパースペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであるという命題によって。

したがって、$[p_0,...,p_n]$は$V$上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）のイメージ（像）はコンパクトであるという命題によって。

$V$はハウスドルフトポロジカルスペース（空間）である（なぜなら、$V$は${\mathbb{R}}^d$へホメオモーフィズム（位相同形写像）であり、${\mathbb{R}}^d$はハウスドルフである）から、$[p_0,...,p_n]$は$V$上でクローズド（閉）である、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって。

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参考資料

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