\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間のインジェクティブ（単射）マップ（写像）は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である、もしも、マップ（写像）の、オープンカバー（開被覆）の各要素についてのドメイン（定義域）リストリクション（制限）がレンジ（値域）またはコドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）の上への\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である場合、ことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、もしも、マップ（写像）の、任意のオープンカバー（開被覆）の各要素についてのドメイン（定義域）リストリクション（制限）がレンジ（値域）またはコドメイン（余域）の任意のオープンサブセット（開部分集合）上への任意のコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である場合、という命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意のマップ（写像）は\(C^k\)である、もしも、任意のオープンカバー（開被覆）の各要素への当該マップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）が\(C^k\)である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、任意のレギュラードメインに対して、当該レギュラードメイン上の各ポイントにおけるインクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である、もしも、当該マップ（写像）の、任意のオープンカバー（開被覆）の各要素についてのドメイン（定義域）リストリクション（制限）が当該レンジ（値域）または当該コドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）の上への\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全てインジェクション（単射）たち }\}\)
\(B\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{U_\beta \vert \beta \in B\}\): \(\in \{M_1 \text{ の全てのオープンカバー（開被覆）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall U_\gamma \in \{U_\beta \vert \beta \in B\} (f (U_\gamma) \subseteq f (M_1) \subseteq M_2 \in \{f (M_1) \text{ または } M_2 \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} \land f \vert_{U_\gamma} \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ エンベディング（埋め込み）たち }\})\)
\(\implies\)
\(f \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ エンベディング（埋め込み）たち }\}\)
//
\(f \vert_{U_\gamma}\)は、\(M_1\)の当該オープンサブマニフォールド（開部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、からのマップ（写像）とみなされている。
2: 注
"\(f (U_\gamma) \subseteq f (M_1) \subseteq M_2 \in \{f (M_1) \text{ または } M_2 \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)"が重要である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である; ステップ2: \(f\)は\(C^\infty\)であることを見る; ステップ3: \(f\)はイマージョン（単射）であることを見る。
ステップ1:
\(f \vert_{U_\gamma}\)はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である。
\(f\)はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、もしも、マップ（写像）の、任意のオープンカバー（開被覆）の各要素についてのドメイン（定義域）リストリクション（制限）がレンジ（値域）またはコドメイン（余域）の任意のオープンサブセット（開部分集合）上への任意のコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である場合、という命題によって。
それが意味するのは、コドメイン（余域）リストリクション（制限）\(f': M_1 \to f (M_1)\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるということ。
ステップ2:
\(f\)は\(C^\infty\)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意のマップ（写像）は\(C^k\)である、もしも、任意のオープンカバー（開被覆）の各要素への当該マップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）が\(C^k\)である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
ステップ3:
\(f\)はイマージョンであることを見よう。
各\(m \in M_1\)に対して、以下を満たすある\(U_\gamma \in \{U_\beta \vert \beta \in B\}\)、つまり、\(m \in U_\gamma\)、がある。
\(\iota: U_\gamma \to M_1\)を当該インクルージョン（封入）であるとしよう。
\(f \vert_{U_\gamma} = f \circ \iota\)。
\(d (f \vert_{U_\gamma})_m = d f_{\iota (m)} \circ d \iota_m\)。
\(d \iota_m\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、任意のレギュラードメインに対して、当該レギュラードメイン上の各ポイントにおけるインクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。したがって、インバース（逆）\({d \iota_m}^{-1}\)がある。
\(d (f \vert_{U_\gamma})_m \circ {d \iota_m}^{-1} = d f_{\iota (m)} \circ d \iota_m \circ {d \iota_m}^{-1} = d f_{\iota (m)}\)。
\(d (f \vert_{U_\gamma})_m\)はインジェクティブ（単射）であり\({d \iota_m}^{-1}\)はインジェクティブ（単射）であるから、\(d f_{\iota (m)}\)はインジェクティブ（単射）である。
したがって、\(f\)はイマージョンである。
ステップ4:
したがって、\(f\)は以下を満たすインジェクティブ（単射）\(C^\infty\)イマージョン、つまり、\(f': M_1 \to f (M_1)\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、である。
したがって、\(f\)は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である。
