890: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間のインジェクティブ（単射）マップ（写像）はC∞エンベディング（埋め込み）である、もしも、マップ（写像）の、オープンカバー（開被覆）の各要素についてのドメイン（定義域）リストリクション（制限）がレンジ（値域）またはコドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）の上へのC∞エンベディング（埋め込み）である場合

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間のインジェクティブ（単射）マップ（写像）は$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）である、もしも、マップ（写像）の、オープンカバー（開被覆）の各要素についてのドメイン（定義域）リストリクション（制限）がレンジ（値域）またはコドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）の上への$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）である場合、ことの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）の定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、もしも、マップ（写像）の、任意のオープンカバー（開被覆）の各要素についてのドメイン（定義域）リストリクション（制限）がレンジ（値域）またはコドメイン（余域）の任意のオープンサブセット（開部分集合）上への任意のコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である場合、という命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意のマップ（写像）は$C^k$である、もしも、任意のオープンカバー（開被覆）の各要素への当該マップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）が$C^k$である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、任意のレギュラードメインに対して、当該レギュラードメイン上の各ポイントにおけるインクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）は$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）である、もしも、当該マップ（写像）の、任意のオープンカバー（開被覆）の各要素についてのドメイン（定義域）リストリクション（制限）が当該レンジ（値域）または当該コドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）の上への$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）である場合、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M_1$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$M_2$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$f$: $:M_1\to M_2$, $\in \{\text{ 全てインジェクション（単射）たち }\}$
$B$: $\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}$
$\{U_{\beta }|\beta \in B\}$: $\in \{M_1\text{ の全てのオープンカバー（開被覆）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\forall }{U}_{\gamma }\in \{U_{\beta }|\beta \in B\}(f(U_{\gamma })\subseteq f(M_1)\subseteq M_2\in \{f(M_1)\text{ または }{M}_2\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\wedge f{|}_{U_{\gamma }}\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ エンベディング（埋め込み）たち }\})$
$⟹$
$f\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ エンベディング（埋め込み）たち }\}$
//

$f{|}_{U_{\gamma }}$は、$M_1$の当該オープンサブマニフォールド（開部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、からのマップ（写像）とみなされている。

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2: 注

"$f(U_{\gamma })\subseteq f(M_1)\subseteq M_2\in \{f(M_1)\text{ または }{M}_2\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}$"が重要である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $f$はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である; ステップ2: $f$は$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見る; ステップ3: $f$はイマージョン（単射）であることを見る。

ステップ1:

$f{|}_{U_{\gamma }}$はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である。

$f$はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、もしも、マップ（写像）の、任意のオープンカバー（開被覆）の各要素についてのドメイン（定義域）リストリクション（制限）がレンジ（値域）またはコドメイン（余域）の任意のオープンサブセット（開部分集合）上への任意のコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である場合、という命題によって。

それが意味するのは、コドメイン（余域）リストリクション（制限）$f^{\prime }:M_1\to f(M_1)$はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるということ。

ステップ2:

$f$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意のマップ（写像）は$C^k$である、もしも、任意のオープンカバー（開被覆）の各要素への当該マップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）が$C^k$である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。

ステップ3:

$f$はイマージョンであることを見よう。

各$m\in M_1$に対して、以下を満たすある$U_{\gamma }\in \{U_{\beta }|\beta \in B\}$、つまり、$m\in U_{\gamma }$、がある。

$\iota :U_{\gamma }\to M_1$を当該インクルージョン（封入）であるとしよう。

$f{|}_{U_{\gamma }}=f\circ \iota$。

$d(f{|}_{U_{\gamma }}{)}_m=d{f}_{\iota (m)}\circ d{\iota }_m$。

$d{\iota }_m$は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、任意のレギュラードメインに対して、当該レギュラードメイン上の各ポイントにおけるインクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。したがって、インバース（逆）${d{\iota }_m}^{-1}$がある。

$d(f{|}_{U_{\gamma }}{)}_m\circ {d{\iota }_m}^{-1}=d{f}_{\iota (m)}\circ d{\iota }_m\circ {d{\iota }_m}^{-1}=d{f}_{\iota (m)}$。

$d(f{|}_{U_{\gamma }}{)}_m$はインジェクティブ（単射）であり${d{\iota }_m}^{-1}$はインジェクティブ（単射）であるから、$d{f}_{\iota (m)}$はインジェクティブ（単射）である。

したがって、$f$はイマージョンである。

ステップ4:

したがって、$f$は以下を満たすインジェクティブ（単射）$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョン、つまり、$f^{\prime }:M_1\to f(M_1)$はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、である。

したがって、$f$は$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）である。

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参考資料

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