2024年12月8日日曜日

889: Cマニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、たち間マップ(写像)はCkである、もしも、オープンカバー(開被覆)の各要素へのマップ(写像)のドメイン(定義域)リストリクション(制限)がCkである場合、そしてその場合に限って

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Cマニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、たち間マップ(写像)はCkである、もしも、オープンカバー(開被覆)の各要素へのマップ(写像)のドメイン(定義域)リストリクション(制限)がCkである場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

話題


About: Cマニフォールド(多様体)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のCマニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、たち間の任意のマップ(写像)はCkである、もしも、任意のオープンカバー(開被覆)の各要素への当該マップ(写像)のドメイン(定義域)リストリクション(制限)がCkである場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
M1: { 全ての C マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、たち }
M2: { 全ての C マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、たち }
f: :M1M2
B: { 全てのアンカウンタブル(不可算)かもしれないインデックスセット(集合)たち }
{Uβ|βB}: {M1 の全てのオープンカバー(開被覆)たち }
//

ステートメント(言明)たち:
f{ 全ての Ck マップ(写像)たち }

Uγ{Uβ|βB}(f|Uγ{ 全ての Ck マップ(写像)たち })
//

f|Uγは、M1の当該オープンサブマニフォールド(部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、からのマップ(写像)またはM1の当該サブセット(部分集合)からのマップ(写像)とみなすことができる、Cマニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、のオープン(開)サブマニフォールド(部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、の定義に対する"注"および任意のCマニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、たちの任意のエンベッデッドサブマニフォールド(部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、たち間の任意のマップ(写像)に対して、Ck性は変わらない、ドメイン(定義域)またはコドメイン(余域)がサブセット(部分集合)とみなされた時、という命題によって。


2: 証明


全体戦略: ステップ1: k=0である時、本命題を結論する; それ以降は、0<kであると仮定する; ステップ2: fCkであると仮定し、f|Uγは、それをM1の当該サブセット(部分集合)からのマップ(写像)とみなしてCkであることを見る; ステップ3: f|Uγは、それをM1の当該オープンサブマニフォールド(開部分多様体)からのマップ(写像)とみなしてCkであることを見る; ステップ4: f|Uγが、それをM1のオープンサブマニフォールド(開部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、からのマップ(写像)とみなしてCkである時、それは、それをM1の当該サブセット(部分集合)からのマップ(写像)とみなしてCkであることを見る; ステップ5: f|Uγは、それをM1の当該サブセット(部分集合)からのマップ(写像)とみなしてCkであると仮定して、fCkであることを見る。

ステップ1:

k=0であると仮定しよう。

fがコンティニュアス(連続)である時、各f|uγはコンティニュアス(連続)である、任意のコンティヌアス(連続)マップ(写像)の、ドメイン(定義域)およびコドメイン(余域)についてのリストリクション(制限)はコンティヌアス(連続)であるという命題によって。

f|uγがコンティニュアス(連続)である時、fはコンティニュアス(連続)である、任意のトポロジカルスペース(空間)間マップ(写像)はコンティヌアス(連続)である、もしも、そのマップ(写像)の、ドメイン(定義域)の、アンカウンタブル(不可算)でもよいあるオープンカバー(開被覆)の各オープンセット(開集合)、への、ドメイン(定義域)リストリクション(制限)がコンティヌアス(連続)である場合、という命題によって。

これ以降は、0<kであると仮定しよう。

ステップ2:

fCkであると仮定しよう。

f|Uγは、それをM1の当該サブセット(部分集合)からのマップ(写像)と仮定してCkであることを見よう。

mUγの周りに、mM1であるから、以下を満たすあるチャート(UmM1,ϕm)およびあるチャート(Uf(m)M2,ϕf(m))、つまり、f(Um)ϕf(m)(Uf(m))、がある、バウンダリー(境界)付きのCマニフォールド(多様体)たちの任意のサブセット(部分集合)たちの任意のサブセット(部分集合)たちの間のCkマップ(写像)、ここで、kを含む、の定義によって。

(UmUγM1,ϕm|UmUγ)のチャートである、任意のCマニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、その任意のチャートに対して、当該チャートの、任意のオープンサブセット(開部分集合)ドメイン(定義域)についてのリストリクション(制限)はチャートであるという命題によって、そして、f(UmUγ)ϕf(m)(Uf(m))が満たされる。

任意のバウンダリー(境界)付きCマニフォールド(多様体)たちの任意のサブセット(部分集合)たち間の任意のマップ(写像)で任意のポイントにおいてCkであるもの、ここで、k0を除外しを含む、に対して、当該ポイント周りのドメイン(定義域)チャートと対応するポイント周りのコドメイン(余域)チャートの任意のペアでドメイン(定義域)チャートとドメイン(定義域)のインターセクション(共通集合)がコドメイン(余域)チャートの中へマップされるものは定義の条件を満たすという命題によって、ϕf(m)fϕm|UmUγ1:ϕm|UmUγ(UmUγ)ϕf(m)(Uf(m))ϕm(m)においてCkである。

=ϕf(m)f|Uγϕm|UmUγ1|ϕm|UmUγ(UmUγUγ):ϕm|UmUγ(UmUγUγ)ϕf(m)(Uf(m))、それはϕm(m)においてCkである、それは、f|UγmにおいてCkであるための条件に他ならない、バウンダリー(境界)付きのCマニフォールド(多様体)たちの任意のサブセット(部分集合)たちの任意のサブセット(部分集合)たちの間のCkマップ(写像)、ここで、kを含む、の定義によって。

したがって、f|UγmにおいてCkであり、mUγは恣意的であるから、f|UγCkである。

ステップ3:

すると、f|Uγは、それをM1の当該オープンサブマニフォールド(開部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、からのマップ(写像)としてCkである、Cマニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、のオープン(開)サブマニフォールド(部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、の定義に対する"注"および任意のCマニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、たちの任意のエンベッデッドサブマニフォールド(部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、たち間の任意のマップ(写像)に対して、Ck性は変わらない、ドメイン(定義域)またはコドメイン(余域)がサブセット(部分集合)とみなされた時、という命題によって。

ステップ4:

f|Uγが、それをM1の当該オープンサブマニフォールド(開部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、からのマップ(写像)とみなしてCkである時、それは、それをM1の当該サブセット(部分集合)からのマップ(写像)とみなしてCkである、Cマニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、のオープン(開)サブマニフォールド(部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、の定義に対する"注"および任意のCマニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、たちの任意のエンベッデッドサブマニフォールド(部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、たち間の任意のマップ(写像)に対して、Ck性は変わらない、ドメイン(定義域)またはコドメイン(余域)がサブセット(部分集合)とみなされた時、という命題によって。

したがって、もしも、本命題の"もしも"方向を、f|UγM1の当該サブセット(部分集合)からのマップ(写像)とみなして証明すれば、当該方向は、f|UγM1の当該オープンサブマニフォールド(開部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、からのマップ(写像)とみなしても成立する。

ステップ5:

f|Uγは、それをM1の当該サブセット(部分集合)からのマップ(写像)とみなしてCkであると仮定しよう。

fCkであることを見よう。

mM1に対して、以下を満たすあるγB、つまり、mUγ、がある。

f|UγmにおいてCkであるから、以下を満たすあるチャート(UmM1,ϕm)およびあるチャート(Uf(m)M2,ϕf(m))、つまり、f|Uγ(UmUγ)Uf(m)およびϕf(m)f|Uγϕm1|ϕm(UmUγ):ϕm(UmUγ)ϕf(m)(Uf(m))ϕm(m)においてCkである、バウンダリー(境界)付きのCマニフォールド(多様体)たちの任意のサブセット(部分集合)たちの任意のサブセット(部分集合)たちの間のCkマップ(写像)、ここで、kを含む、の定義によって。

しかし、(UmUγM1,ϕm|UmUγ)もチャートである、任意のCマニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、その任意のチャートに対して、当該チャートの、任意のオープンサブセット(開部分集合)ドメイン(定義域)についてのリストリクション(制限)はチャートであるという命題によって、そしてf(UmUγ)Uf(m)は満たされる。

ϕf(m)fϕm|UmUγ1=ϕf(m)f|Uγϕm1|ϕm(UmUγ):ϕm(UmUγ)ϕf(m)(Uf(m))ϕm(m)においてCkである、それは、fmにおいてCkであるための条件に他ならない。

mM1は恣意的であるので、fCkである。


参考資料


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