\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間マップ（写像）は\(C^k\)である、もしも、オープンカバー（開被覆）の各要素へのマップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）が\(C^k\)である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、バウンダリー（境界）付きの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の\(C^k\)マップ（写像）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意のマップ（写像）に対して、\(C^k\)性は変わらない、ドメイン（定義域）またはコドメイン（余域）がサブセット（部分集合）とみなされた時、という命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、その任意のチャートに対して、当該チャートの、任意のオープンサブセット（開部分集合）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はチャートであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、に対して、当該ポイント周りのドメイン（定義域）チャートと対応するポイント周りのコドメイン（余域）チャートの任意のペアでドメイン（定義域）チャートとドメイン（定義域）のインターセクション（共通集合）がコドメイン（余域）チャートの中へマップされるものは定義の条件を満たすという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意のマップ（写像）は\(C^k\)である、もしも、任意のオープンカバー（開被覆）の各要素への当該マップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）が\(C^k\)である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\)
\(B\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{U_\beta \vert \beta \in B\}\): \(\in \{M_1 \text{ の全てのオープンカバー（開被覆）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全ての } C^k \text{ マップ（写像）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\forall U_\gamma \in \{U_\beta \vert \beta \in B\} (f \vert_{U_\gamma} \in \{\text{ 全ての } C^k \text{ マップ（写像）たち }\})\)
//
\(f \vert_{U_\gamma}\)は、\(M_1\)の当該オープンサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、からのマップ（写像）または\(M_1\)の当該サブセット（部分集合）からのマップ（写像）とみなすことができる、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義に対する"注"および任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意のマップ（写像）に対して、\(C^k\)性は変わらない、ドメイン（定義域）またはコドメイン（余域）がサブセット（部分集合）とみなされた時、という命題によって。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(k = 0\)である時、本命題を結論する; それ以降は、\(0 \lt k\)であると仮定する; ステップ2: \(f\)は\(C^k\)であると仮定し、\(f \vert_{U_\gamma}\)は、それを\(M_1\)の当該サブセット（部分集合）からのマップ（写像）とみなして\(C^k\)であることを見る; ステップ3: \(f \vert_{U_\gamma}\)は、それを\(M_1\)の当該オープンサブマニフォールド（開部分多様体）からのマップ（写像）とみなして\(C^k\)であることを見る; ステップ4: \(f \vert_{U_\gamma}\)が、それを\(M_1\)のオープンサブマニフォールド（開部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、からのマップ（写像）とみなして\(C^k\)である時、それは、それを\(M_1\)の当該サブセット（部分集合）からのマップ（写像）とみなして\(C^k\)であることを見る; ステップ5: \(f \vert_{U_\gamma}\)は、それを\(M_1\)の当該サブセット（部分集合）からのマップ（写像）とみなして\(C^k\)であると仮定して、\(f\)は\(C^k\)であることを見る。
ステップ1:
\(k = 0\)であると仮定しよう。
\(f\)がコンティニュアス（連続）である時、各\(f \vert_{u_\gamma}\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
各\(f \vert_{u_\gamma}\)がコンティニュアス（連続）である時、\(f\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題によって。
これ以降は、\(0 \lt k\)であると仮定しよう。
ステップ2:
\(f\)は\(C^k\)であると仮定しよう。
\(f \vert_{U_\gamma}\)は、それを\(M_1\)の当該サブセット（部分集合）からのマップ（写像）と仮定して\(C^k\)であることを見よう。
各\(m \in U_\gamma\)の周りに、\(m \in M_1\)であるから、以下を満たすあるチャート\((U_m \subseteq M_1, \phi_m)\)およびあるチャート\((U_{f (m)} \subseteq M_2, \phi_{f (m)})\)、つまり、\(f (U_m) \subseteq \phi_{f (m)} (U_{f (m)})\)、がある、バウンダリー（境界）付きの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の\(C^k\)マップ（写像）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、の定義によって。
\((U_m \cap U_\gamma \subseteq M_1, \phi_m \vert_{U_m \cap U_\gamma})\)のチャートである、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、その任意のチャートに対して、当該チャートの、任意のオープンサブセット（開部分集合）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はチャートであるという命題によって、そして、\(f (U_m \cap U_\gamma) \subseteq \phi_{f (m)} (U_{f (m)})\)が満たされる。
任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、に対して、当該ポイント周りのドメイン（定義域）チャートと対応するポイント周りのコドメイン（余域）チャートの任意のペアでドメイン（定義域）チャートとドメイン（定義域）のインターセクション（共通集合）がコドメイン（余域）チャートの中へマップされるものは定義の条件を満たすという命題によって、\(\phi_{f (m)} \circ f \circ {\phi_m \vert_{U_m \cap U_\gamma}}^{-1}: \phi_m \vert_{U_m \cap U_\gamma} (U_m \cap U_\gamma) \to \phi_{f (m)} (U_{f (m)})\)は\(\phi_m (m)\)において\(C^k\)である。
\(= \phi_{f (m)} \circ f \vert_{U_\gamma} \circ {\phi_m \vert_{U_m \cap U_\gamma}}^{-1} \vert_{\phi_m \vert_{U_m \cap U_\gamma} (U_m \cap U_\gamma \cap U_\gamma)}: \phi_m \vert_{U_m \cap U_\gamma} (U_m \cap U_\gamma \cap U_\gamma) \to \phi_{f (m)} (U_{f (m)})\)、それは\(\phi_m (m)\)において\(C^k\)である、それは、\(f \vert_{U_\gamma}\)が\(m\)において\(C^k\)であるための条件に他ならない、バウンダリー（境界）付きの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の\(C^k\)マップ（写像）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、の定義によって。
したがって、\(f \vert_{U_\gamma}\)は\(m\)において\(C^k\)であり、\(m \in U_\gamma\)は恣意的であるから、\(f \vert_{U_\gamma}\)は\(C^k\)である。
ステップ3:
すると、\(f \vert_{U_\gamma}\)は、それを\(M_1\)の当該オープンサブマニフォールド（開部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、からのマップ（写像）として\(C^k\)である、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義に対する"注"および任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意のマップ（写像）に対して、\(C^k\)性は変わらない、ドメイン（定義域）またはコドメイン（余域）がサブセット（部分集合）とみなされた時、という命題によって。
ステップ4:
\(f \vert_{U_\gamma}\)が、それを\(M_1\)の当該オープンサブマニフォールド（開部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、からのマップ（写像）とみなして\(C^k\)である時、それは、それを\(M_1\)の当該サブセット（部分集合）からのマップ（写像）とみなして\(C^k\)である、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義に対する"注"および任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意のマップ（写像）に対して、\(C^k\)性は変わらない、ドメイン（定義域）またはコドメイン（余域）がサブセット（部分集合）とみなされた時、という命題によって。
したがって、もしも、本命題の"もしも"方向を、\(f \vert_{U_\gamma}\)を\(M_1\)の当該サブセット（部分集合）からのマップ（写像）とみなして証明すれば、当該方向は、\(f \vert_{U_\gamma}\)を\(M_1\)の当該オープンサブマニフォールド（開部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、からのマップ（写像）とみなしても成立する。
ステップ5:
各\(f \vert_{U_\gamma}\)は、それを\(M_1\)の当該サブセット（部分集合）からのマップ（写像）とみなして\(C^k\)であると仮定しよう。
\(f\)は\(C^k\)であることを見よう。
各\(m \in M_1\)に対して、以下を満たすある\(\gamma \in B\)、つまり、\(m \in U_\gamma\)、がある。
\(f \vert_{U_\gamma}\)は\(m\)において\(C^k\)であるから、以下を満たすあるチャート\((U_m \subseteq M_1, \phi_m)\)およびあるチャート\((U_{f (m)} \subseteq M_2, \phi_{f (m)})\)、つまり、\(f \vert_{U_\gamma} (U_m \cap U_\gamma) \subseteq U_{f (m)}\)および\(\phi_{f (m)} \circ f \vert_{U_\gamma} \circ {\phi_m}^{-1} \vert_{\phi_m (U_m \cap U_\gamma)}: \phi_m (U_m \cap U_\gamma) \to \phi_{f (m)} (U_{f (m)})\)は\(\phi_m (m)\)において\(C^k\)である、バウンダリー（境界）付きの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の\(C^k\)マップ（写像）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、の定義によって。
しかし、\((U_m \cap U_\gamma \subseteq M_1, \phi_m \vert_{U_m \cap U_\gamma})\)もチャートである、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、その任意のチャートに対して、当該チャートの、任意のオープンサブセット（開部分集合）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はチャートであるという命題によって、そして\(f (U_m \cap U_\gamma) \subseteq U_{f (m)}\)は満たされる。
\(\phi_{f (m)} \circ f \circ {\phi_m \vert_{U_m \cap U_\gamma}}^{-1} = \phi_{f (m)} \circ f \vert_{U_\gamma} \circ {\phi_m}^{-1} \vert_{\phi_m (U_m \cap U_\gamma)}: \phi_m (U_m \cap U_\gamma) \to \phi_{f (m)} (U_{f (m)})\)は\(\phi_m (m)\)において\(C^k\)である、それは、\(f\)が\(m\)において\(C^k\)であるための条件に他ならない。
\(m \in M_1\)は恣意的であるので、\(f\)は\(C^k\)である。
