2025年1月26日日曜日

978: リング（環）およびサブフィールド（部分体）たちのセット（集合）に対して、セット（集合）のインターセクション（共通集合）はサブフィールド（部分体）である

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リング（環）およびサブフィールド（部分体）たちのセット（集合）に対して、セット（集合）のインターセクション（共通集合）はサブフィールド（部分体）であることの記述/証明

話題


About: リング（環）
About: フィールド（体）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のリング（環）およびサブフィールド（部分体）たちの任意のセット（集合）に対して、当該セット（集合）のインターセクション（共通集合）はサブフィールド（部分体）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
R: ∈{ 全てのリング（環）たち }
B: ∈{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }
{Fβ|β∈B}: Fβ∈{R の全てのサブフィールド（部分体）たち }
//

ステートメント（言明）たち:
∩{Fβ|β∈B}∈{R の全てのサブフィールド（部分体）たち }
//

2: 注


1つのポイントは、Rはフィールド（体）である必要はないということ。

しかし、本命題において、Rはフィールド（体）でもよい。

3: 証明


全体戦略: ステップ1: ∩{Fβ|β∈B}はRのサブリング（部分環）であることを見る; ステップ2: ∩{Fβ|β∈B}はコミュータティブ（可換）リング（環）であることを見る; ステップ3: ∩{Fβ|β∈B}の各要素はあるインバース（逆）を持つことを見る。

ステップ1:

∩{Fβ|β∈B}はRのサブリング（部分環）である、任意のリング（環）およびサブリング（部分環）たちの任意のセット（集合）に対して、当該セット（集合）のインターセクション（共通集合）はサブリング（部分環）であるという命題によって: 各FβはRのサブリング（部分環）である。

ステップ2:

∩{Fβ|β∈B}はコミュータティブ（可換）リング（環）であることを見る。

各r1,r2∈∩{Fβ|β∈B}に対して、r1,r2∈Fβ、各(\beta\)に対して、したがって、r1r2=r2r1、なぜなら、Fβはフィールド（体）である。

ステップ3:

∩{Fβ|β∈B}の各要素はあるインバース（逆）を持つことを見る。

各r∈∩{Fβ|β∈B}に対して、r∈Fβ、各βに対して、したがって、インバース（逆）rβ（この段階では、それがβに依存する可能性を除外できない）がFβ上にある、各βに対して、しかし、当該インバース（逆）はR上のインバース（逆）でもある、なぜなら、rrβ=rβr=1はR上で成立する、そして、それは、R上でユニークである、任意のリング（環）に対して、もしも、ある要素があるインバース（逆）を持つ場合、当該インバース（逆）はユニークであるという命題によって; したがって、これらrβたちは、実のところ同一である、それは、r−1と表記できる、したがって、r−1∈Fβ、各βに対して、そして、r−1∈∩{Fβ|β∈B}。

参考資料
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