リング（環）およびサブフィールド（部分体）たちのセット（集合）に対して、セット（集合）のインターセクション（共通集合）はサブフィールド（部分体）であることの記述/証明
話題
About: リング（環）
About: フィールド（体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リング（環）の定義を知っている。
- 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）のインターセクション（共通集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリング（環）およびサブリング（部分環）たちの任意のセット（集合）に対して、当該セット（集合）のインターセクション（共通集合）はサブリング（部分環）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のリング（環）に対して、もしも、ある要素があるインバース（逆）を持つ場合、当該インバース（逆）はユニークであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリング（環）およびサブフィールド（部分体）たちの任意のセット（集合）に対して、当該セット（集合）のインターセクション（共通集合）はサブフィールド（部分体）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(B\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{F_\beta \vert \beta \in B\}\): \(F_\beta \in \{R \text{ の全てのサブフィールド（部分体）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\cap \{F_\beta \vert \beta \in B\} \in \{R \text{ の全てのサブフィールド（部分体）たち }\}\)
//
2: 注
1つのポイントは、\(R\)はフィールド（体）である必要はないということ。
しかし、本命題において、\(R\)はフィールド（体）でもよい。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\cap \{F_\beta \vert \beta \in B\}\)は\(R\)のサブリング（部分環）であることを見る; ステップ2: \(\cap \{F_\beta \vert \beta \in B\}\)はコミュータティブ（可換）リング（環）であることを見る; ステップ3: \(\cap \{F_\beta \vert \beta \in B\}\)の各要素はあるインバース（逆）を持つことを見る。
ステップ1:
\(\cap \{F_\beta \vert \beta \in B\}\)は\(R\)のサブリング（部分環）である、任意のリング（環）およびサブリング（部分環）たちの任意のセット（集合）に対して、当該セット（集合）のインターセクション（共通集合）はサブリング（部分環）であるという命題によって: 各\(F_\beta\)は\(R\)のサブリング（部分環）である。
ステップ2:
\(\cap \{F_\beta \vert \beta \in B\}\)はコミュータティブ（可換）リング（環）であることを見る。
各\(r_1, r_2 \in \cap \{F_\beta \vert \beta \in B\}\)に対して、\(r_1, r_2 \in F_\beta\)、各(\beta\)に対して、したがって、\(r_1 r_2 = r_2 r_1\)、なぜなら、\(F_\beta\)はフィールド（体）である。
ステップ3:
\(\cap \{F_\beta \vert \beta \in B\}\)の各要素はあるインバース（逆）を持つことを見る。
各\(r \in \cap \{F_\beta \vert \beta \in B\}\)に対して、\(r \in F_\beta\)、各\(\beta\)に対して、したがって、インバース（逆）\(r_\beta\)（この段階では、それが\(\beta\)に依存する可能性を除外できない）が\(F_\beta\)上にある、各\(\beta\)に対して、しかし、当該インバース（逆）は\(R\)上のインバース（逆）でもある、なぜなら、\(r r_\beta = r_\beta r = 1\)は\(R\)上で成立する、そして、それは、\(R\)上でユニークである、任意のリング（環）に対して、もしも、ある要素があるインバース（逆）を持つ場合、当該インバース（逆）はユニークであるという命題によって; したがって、これら\(r_\beta\)たちは、実のところ同一である、それは、\(r^{-1}\)と表記できる、したがって、\(r^{-1} \in F_\beta\)、各\(\beta\)に対して、そして、\(r^{-1} \in \cap \{F_\beta \vert \beta \in B\}\)。
