2025年2月23日日曜日

1022: ファイナイト（有限）プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）からのマルチリニアマップ（多重線形写像）に対して、ファイナイト（有限）個ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）からのユニークなリニアマップ（線形写像）で、マルチリニアマップ（多重線形写像）は、プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）からテンソルプロダクト（積）の中へのカノニカル（正典）マップ（写像）の後にリニアマップ（写像）を作用させるものであるものがある

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ファイナイト（有限）プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）からのマルチリニアマップ（多重線形写像）に対して、ファイナイト（有限）個ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）からのユニークなリニアマップ（線形写像）で、マルチリニアマップ（多重線形写像）は、プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）からテンソルプロダクト（積）の中へのカノニカル（正典）マップ（写像）の後にリニアマップ（写像）を作用させるものであるものがあることの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のファイナイト（有限）プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）からの任意のマルチリニアマップ（多重線形写像）に対して、当該ファイナイト（有限）個ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）からのユニークなリニアマップ（線形写像）で、当該マルチリニアマップ（多重線形写像）は、当該プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）から当該テンソルプロダクト（積）の中へのカノニカル（正典）マップ（写像）の後に当該リニアマップ（写像）を作用させるものであるものがあるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{ 全てのフィールド（体）たち }
{V1,...,Vk}: ⊆{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }
V: ∈{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }
V1×...×Vk: = 当該プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間） 
V1⊗...⊗Vk: = 当該テンソルプロダクト（積） 
f: :V1×...×Vk→V, ∈{ 全てのマルチリニアマップ（多重線形写像）たち }
g: :V1×...×Vk→V1⊗...⊗Vk,(v1,...,vk)↦[((v1,...,vk))]
//

ステートメント（言明）たち:
!∃f′:V1⊗...⊗Vk→V∈{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }(f=f′∘g)
//

2: 注


VjもVもファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）である必要はない。

3: 証明


全体戦略: ステップ1: see that there is only 1 option for f′に対して、当該要件たちを満たすにはただ1つのオプションしかないことを見る; ステップ2: それはウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見る; ステップ3: それは当該要件たちを満たすことを見る。

ステップ1:

[v]∈V1⊗...⊗Vkは任意のものであるとしよう。

vはユニークに決定されていないが、ひと度vが決定されれば、v∈F(V1×...×Vk,F)であり、vはユニークにv=r1((v1,1,...,v1,k))+...+rl((vl,1,...,vl,k))として表現される、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題によって、なぜなら、{((v1,...,vk))|vj∈Vj}はF(V1×...×Vk,F)に対するベーシス（基底）である。

[v]=[r1((v1,1,...,v1,k))+...+rl((vl,1,...,vl,k))]。

=r1[((v1,1,...,v1,k))]+...+rl[((vl,1,...,vl,k))]。

f′はリニア（線形）である必要があるので、f′([v])=f′(r1[((v1,1,...,v1,k))]+...+rl[((vl,1,...,vl,k))])=r1f′([((v1,1,...,v1,k))])+...+rlf′([((vl,1,...,vl,k))])が要求される。

f((vj,1,...,vj,k))=f′∘g((vj,1,...,vj,k))が要求される。

=f′([((vj,1,...,vj,k))])、したがって、f′([v])は、r1f((v1,1,...,v1,k))+...+rlf((vl,1,...,vl,k))であるよう要求される。

したがって、もしも、何らかのf′が存在すれば、f′はユニークに決定される。

しかし、勿論、f′([v])=r1f((v1,1,...,v1,k))+...+rlf((vl,1,...,vl,k))はウェルデファインド（妥当に定義された）であることを確認する必要がある。

ステップ2:

ひと度vが決定されれば、r1f((v1,1,...,v1,k))+...+rlf((vl,1,...,vl,k))はユニークに決定される。

唯一の課題は、それはvの選択に依存しないということである。

以下を満たす任意の他の選択v′∈F(V1×...×Vk,F)、つまり、[v]=[v′]、に対して、v′−v∈(S)、ここで、(S)はS:={((v1,...,rvj,...,vk))−r((v1,...,vk))∈F(V1×...×Vk)|r∈F,v1∈V1,...,vk∈Vk}∪{((v1,...,vj+vj′,...,vk))−((v1,...,vj,...,vk))−((v1,...,vj′,...,vk))∈F(V1×...×Vk)|v1∈V1,...,vk∈Vk,vj′∈Vj}によって生成されたサブベクトルたちスペース（空間）。

(S)の各要素はSのあるリニアコンビネーション（線形結合）であるから、v′−v=s1(((v1,1,...,r1v1,j,...,v1,k))−r1((v1,1,...,v1,k)))+...+sl(((vl,1,...,rlvl,j,...,vl,k))−rl((vl,1,...,vl,k)))+t1(((w1,1,...,w1,j1+w1,j1′,...,w1,k))−((w1,1,...,w1,j1,...,w1,k))−((w1,1,...,w1,j1′,...,w1,k)))+...+tm(((wm,1,...,wm,jm+wm,jm′,...,wm,k))−((wm,1,...,wm,jm,...,wm,k))−((wm,1,...,wm,jm′,...,wm,k)))。

注意として、各((∙))表現はF(V1×...×Vk,F)に対するあるベーシス（基底）要素であるところ、v′−vの上記表現は、ベーシス（基底）要素たちのいくつかの重複たちを含んでいるかもしれない、しかし、それにもかかわらず、任意のa1((v1,1,...,v1,k))+...+al((vl,1,...,vl,k))でベーシス（基底）要素たち内で重複を持つかもしれないものに対して、f′([a1((v1,1,...,v1,k))+...+al((vl,1,...,vl,k))])=a1f((v1,1,...,v1,k))+...+alf((vl,1,...,vl,k))が成立する、なぜなら、なぜなら、((v1,1,...,v1,k))=((v2,1,...,v2,k))だと仮定して、f′([a1((v1,1,...,v1,k))+...+al((vl,1,...,vl,k))])=f′([(a1+a2)((v1,1,...,v1,k))+a3((v3,1,...,v3,k))+...+al((vl,1,...,vl,k))])=(a1+a2)f((v1,1,...,v1,k))+a3f((v3,1,...,v3,k))+...+alf((vl,1,...,vl,k))=a1f((v1,1,...,v1,k))+a2f((v1,1,...,v1,k))+a3f((v3,1,...,v3,k))+...+alf((vl,1,...,vl,k))=a1f((v1,1,...,v1,k))+a2f((v2,1,...,v2,k))+a3f((v3,1,...,v3,k))+...+alf((vl,1,...,vl,k))。

したがって、f′([v′])=f′([v+s1(((v1,1,...,r1v1,j,...,v1,k))−r1((v1,1,...,v1,k)))+...+sl(((vl,1,...,rlvl,j,...,vl,k))−rl((vl,1,...,vl,k)))+t1(((w1,1,...,w1,j1+w1,j1′,...,w1,k))−((w1,1,...,w1,j1,...,w1,k))−((w1,1,...,w1,j1′,...,w1,k)))+...+tm(((wm,1,...,wm,jm+wm,jm′,...,wm,k))−((wm,1,...,wm,jm,...,wm,k))−((wm,1,...,wm,jm′,...,wm,k)))])=f′[v]+s1f((v1,1,...,r1v1,j,...,v1,k))−s1r1f((v1,1,...,v1,k))+...+slf((vl,1,...,rlvl,j,...,vl,k))−slrlf((vl,1,...,vl,k))+t1f((w1,1,...,w1,j1+w1,j1′,...,w1,k))−t1f((w1,1,...,w1,j1,...,w1,k))−t1f((w1,1,...,w1,j1′,...,w1,k))+...+tmf((wm,1,...,wm,jm+wm,jm′,...,wm,k))−tmf((wm,1,...,wm,jm,...,wm,k))−tmf((wm,1,...,wm,jm′,...,wm,k))。

各snf((vn,1,...,rnvn,jn,...,vn,k))−snrnf((vn,1,...,vn,k))に対して、それは0である、なぜなら、snf((vn,1,...,rnvn,jn,...,vn,k))=snrnf((vn,1,...,vn,k))、なぜなら、fはマルチリニアマップ（多重線形写像）である。

各tnf((wn,1,...,wn,jn+wn,jn′,...,wn,k))−tnf((wn,1,...,wn,jn,...,wn,k))−tnf((wn,1,...,wn,jn′,...,wn,k))に対して、それは0である、なぜなら、tnf((wn,1,...,wn,jn+wn,jn′,...,wn,k))=tnf((wn,1,...,wn,jn,...,wn,k))+tnf((wn,1,...,wn,jn′,...,wn,k))、なぜなら、fはマルチリニアマップ（多重線形写像）である。

したがって、f′[v′]=f′[v]。

ステップ3:

f′は本当にリニア（線形）であることを見よう。

[v],[v′]∈V1⊗...⊗Vkは任意のものであるとしよう。

[v]=[r1((v1,1,...,v1,k))+...+rl((vl,1,...,vl,k))]および[v′]=[r′1((v1,1′,...,v1,k′))+...+r′m((vm,1′,...,vm,k′))]。

r[v]+r′[v′]=[rr1((v1,1,...,v1,k))+...+rrl((vl,1,...,vl,k))+r′r′1((v1,1′,...,v1,k′))+...+r′r′m((vm,1′,...,vm,k′))]。

f′(r[v]+r′[v′])=rr1f((v1,1,...,v1,k))+...+rrlf((vl,1,...,vl,k))+r′r′1f((v1,1′,...,v1,k′))+...+r′r′mf((vm,1′,...,vm,k′)): 前と同様、ベーシス（基底）要素たちの任意の重複は問題でない、=r(r1f((v1,1,...,v1,k))+...+rlf((vl,1,...,vl,k)))+r′(r′1f((v1,1′,...,v1,k′))+...+r′mf((vm,1′,...,vm,k′)))=rf′([v])+r′f′([v′])。

f=f′∘gであることを再確認しよう。

各(v1,...,vk)∈V1×...×Vkに対して、f′∘g((v1,...,vk))=f′([((v1,...,vk))])=f((v1,...,vk))。

参考資料
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