ファイナイト（有限）プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）からのマルチリニアマップ（多重線形写像）に対して、ファイナイト（有限）個ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）からのユニークなリニアマップ（線形写像）で、マルチリニアマップ（多重線形写像）は、プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）からテンソルプロダクト（積）の中へのカノニカル（正典）マップ（写像）の後にリニアマップ（写像）を作用させるものであるものがあることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、マルチリニアマップ（多重線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、\(k\)個のベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）の定義を知っている。
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）からの任意のマルチリニアマップ（多重線形写像）に対して、当該ファイナイト（有限）個ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）からのユニークなリニアマップ（線形写像）で、当該マルチリニアマップ（多重線形写像）は、当該プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）から当該テンソルプロダクト（積）の中へのカノニカル（正典）マップ（写像）の後に当該リニアマップ（写像）を作用させるものであるものがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(\{V_1, ..., V_k\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_1 \times ... \times V_k\): \(= \text{ 当該プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間） }\)
\(V_1 \otimes ... \otimes V_k\): \(= \text{ 当該テンソルプロダクト（積） }\)
\(f\): \(: V_1 \times ... \times V_k \to V\), \(\in \{\text{ 全てのマルチリニアマップ（多重線形写像）たち }\}\)
\(g\): \(: V_1 \times ... \times V_k \to V_1 \otimes ... \otimes V_k, (v_1, ..., v_k) \mapsto [((v_1, ..., v_k))]\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(!\exists f': V_1 \otimes ... \otimes V_k \to V \in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\} (f = f' \circ g)\)
//
2: 注
\(V_j\)も\(V\)もファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）である必要はない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: see that there is only 1 option for \(f'\)に対して、当該要件たちを満たすにはただ1つのオプションしかないことを見る; ステップ2: それはウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見る; ステップ3: それは当該要件たちを満たすことを見る。
ステップ1:
\([v] \in V_1 \otimes ... \otimes V_k\)は任意のものであるとしよう。
\(v\)はユニークに決定されていないが、ひと度\(v\)が決定されれば、\(v \in F (V_1 \times ... \times V_k, F)\)であり、\(v\)はユニークに\(v = r^1 ((v_{1, 1}, ..., v_{1, k})) + ... + r^l ((v_{l, 1}, ..., v_{l, k}))\)として表現される、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題によって、なぜなら、\(\{((v_1, ..., v_k)) \vert v_j \in V_j\}\)は\(F (V_1 \times ... \times V_k, F)\)に対するベーシス（基底）である。
\([v] = [r^1 ((v_{1, 1}, ..., v_{1, k})) + ... + r^l ((v_{l, 1}, ..., v_{l, k}))]\)。
\( = r^1 [((v_{1, 1}, ..., v_{1, k}))] + ... + r^l [((v_{l, 1}, ..., v_{l, k}))]\)。
\(f'\)はリニア（線形）である必要があるので、\(f' ([v]) = f' (r^1 [((v_{1, 1}, ..., v_{1, k}))] + ... + r^l [((v_{l, 1}, ..., v_{l, k}))]) = r^1 f' ([((v_{1, 1}, ..., v_{1, k}))]) + ... + r^l f' ([((v_{l, 1}, ..., v_{l, k}))])\)が要求される。
\(f ((v_{j, 1}, ..., v_{j, k})) = f' \circ g ((v_{j, 1}, ..., v_{j, k}))\)が要求される。
\(= f' ([((v_{j, 1}, ..., v_{j, k}))])\)、したがって、\(f' ([v])\)は、\(r^1 f ((v_{1, 1}, ..., v_{1, k})) + ... + r^l f ((v_{l, 1}, ..., v_{l, k}))\)であるよう要求される。
したがって、もしも、何らかの\(f'\)が存在すれば、\(f'\)はユニークに決定される。
しかし、勿論、\(f' ([v]) = r^1 f ((v_{1, 1}, ..., v_{1, k})) + ... + r^l f ((v_{l, 1}, ..., v_{l, k}))\)はウェルデファインド（妥当に定義された）であることを確認する必要がある。
ステップ2:
ひと度\(v\)が決定されれば、\(r^1 f ((v_{1, 1}, ..., v_{1, k})) + ... + r^l f ((v_{l, 1}, ..., v_{l, k}))\)はユニークに決定される。
唯一の課題は、それは\(v\)の選択に依存しないということである。
以下を満たす任意の他の選択\(v' \in F (V_1 \times ... \times V_k, F)\)、つまり、\([v] = [v']\)、に対して、\(v' - v \in (S)\)、ここで、\((S)\)は\(S := \{((v_1, ..., r v_j, ..., v_k)) - r ((v_1, ..., v_k)) \in F (V_1 \times ... \times V_k) \vert r \in F, v_1 \in V_1, ..., v_k \in V_k\} \cup \{((v_1, ..., v_j + v'_j, ..., v_k)) - ((v_1, ..., v_j, ..., v_k)) - ((v_1, ..., v'_j, ..., v_k)) \in F (V_1 \times ... \times V_k) \vert v_1 \in V_1, ..., v_k \in V_k, v'_j \in V_j\}\)によって生成されたサブベクトルたちスペース（空間）。
\((S)\)の各要素は\(S\)のあるリニアコンビネーション（線形結合）であるから、\(v' - v = s^1 (((v_{1, 1}, ..., r^1 v_{1, j}, ..., v_{1, k})) - r^1 ((v_{1, 1}, ..., v_{1, k}))) + ... + s^l (((v_{l, 1}, ..., r^l v_{l, j}, ..., v_{l, k})) - r^l ((v_{l, 1}, ..., v_{l, k}))) + t^1 (((w_{1, 1}, ..., w_{1, j_1} + w'_{1, j_1}, ..., w_{1, k})) - ((w_{1, 1}, ..., w_{1, j_1}, ..., w_{1, k})) - ((w_{1, 1}, ..., w'_{1, j_1}, ..., w_{1, k}))) + ... + t^m (((w_{m, 1}, ..., w_{m, j_m} + w'_{m, j_m}, ..., w_{m, k})) - ((w_{m, 1}, ..., w_{m, j_m}, ..., w_{m, k})) - ((w_{m, 1}, ..., w'_{m, j_m}, ..., w_{m, k})))\)。
注意として、各\(((\bullet))\)表現は\(F (V_1 \times ... \times V_k, F)\)に対するあるベーシス（基底）要素であるところ、\(v' - v\)の上記表現は、ベーシス（基底）要素たちのいくつかの重複たちを含んでいるかもしれない、しかし、それにもかかわらず、任意の\(a^1 ((v_{1, 1}, ..., v_{1, k})) + ... + a^l ((v_{l, 1}, ..., v_{l, k}))\)でベーシス（基底）要素たち内で重複を持つかもしれないものに対して、\(f' ([a^1 ((v_{1, 1}, ..., v_{1, k})) + ... + a^l ((v_{l, 1}, ..., v_{l, k}))]) = a^1 f ((v_{1, 1}, ..., v_{1, k})) + ... + a^l f ((v_{l, 1}, ..., v_{l, k}))\)が成立する、なぜなら、なぜなら、\(((v_{1, 1}, ..., v_{1, k})) = ((v_{2, 1}, ..., v_{2, k}))\)だと仮定して、\(f' ([a^1 ((v_{1, 1}, ..., v_{1, k})) + ... + a^l ((v_{l, 1}, ..., v_{l, k}))]) = f' ([(a^1 + a^2) ((v_{1, 1}, ..., v_{1, k})) + a^3 ((v_{3, 1}, ..., v_{3, k})) + ... + a^l ((v_{l, 1}, ..., v_{l, k}))]) = (a^1 + a^2) f ((v_{1, 1}, ..., v_{1, k})) + a^3 f ((v_{3, 1}, ..., v_{3, k})) + ... + a^l f ((v_{l, 1}, ..., v_{l, k})) = a^1 f ((v_{1, 1}, ..., v_{1, k})) + a^2 f ((v_{1, 1}, ..., v_{1, k})) + a^3 f ((v_{3, 1}, ..., v_{3, k})) + ... + a^l f ((v_{l, 1}, ..., v_{l, k})) = a^1 f ((v_{1, 1}, ..., v_{1, k})) + a^2 f ((v_{2, 1}, ..., v_{2, k})) + a^3 f ((v_{3, 1}, ..., v_{3, k})) + ... + a^l f ((v_{l, 1}, ..., v_{l, k}))\)。
したがって、\(f' ([v']) = f' ([v + s^1 (((v_{1, 1}, ..., r^1 v_{1, j}, ..., v_{1, k})) - r^1 ((v_{1, 1}, ..., v_{1, k}))) + ... + s^l (((v_{l, 1}, ..., r^l v_{l, j}, ..., v_{l, k})) - r^l ((v_{l, 1}, ..., v_{l, k}))) + t^1 (((w_{1, 1}, ..., w_{1, j_1} + w'_{1, j_1}, ..., w_{1, k})) - ((w_{1, 1}, ..., w_{1, j_1}, ..., w_{1, k})) - ((w_{1, 1}, ..., w'_{1, j_1}, ..., w_{1, k}))) + ... + t^m (((w_{m, 1}, ..., w_{m, j_m} + w'_{m, j_m}, ..., w_{m, k})) - ((w_{m, 1}, ..., w_{m, j_m}, ..., w_{m, k})) - ((w_{m, 1}, ..., w'_{m, j_m}, ..., w_{m, k})))]) = f' [v] + s^1 f ((v_{1, 1}, ..., r^1 v_{1, j}, ..., v_{1, k})) - s^1 r^1 f ((v_{1, 1}, ..., v_{1, k})) + ... + s^l f ((v_{l, 1}, ..., r^l v_{l, j}, ..., v_{l, k})) - s^l r^l f ((v_{l, 1}, ..., v_{l, k})) + t^1 f ((w_{1, 1}, ..., w_{1, j_1} + w'_{1, j_1}, ..., w_{1, k})) - t^1 f ((w_{1, 1}, ..., w_{1, j_1}, ..., w_{1, k})) - t^1 f ((w_{1, 1}, ..., w'_{1, j_1}, ..., w_{1, k})) + ... + t^m f ((w_{m, 1}, ..., w_{m, j_m} + w'_{m, j_m}, ..., w_{m, k})) - t^m f ((w_{m, 1}, ..., w_{m, j_m}, ..., w_{m, k})) - t^m f ((w_{m, 1}, ..., w'_{m, j_m}, ..., w_{m, k}))\)。
各\(s^n f ((v_{n, 1}, ..., r^n v_{n, j_n}, ..., v_{n, k})) - s^n r^n f ((v_{n, 1}, ..., v_{n, k}))\)に対して、それは\(0\)である、なぜなら、\(s^n f ((v_{n, 1}, ..., r^n v_{n, j_n}, ..., v_{n, k})) = s^n r^n f ((v_{n, 1}, ... , v_{n, k}))\)、なぜなら、\(f\)はマルチリニアマップ（多重線形写像）である。
各\(t^n f ((w_{n, 1}, ..., w_{n, j_n} + w'_{n, j_n}, ..., w_{n, k})) - t^n f ((w_{n, 1}, ..., w_{n, j_n}, ..., w_{n, k})) - t^n f ((w_{n, 1}, ..., w'_{n, j_n}, ..., w_{n, k}))\)に対して、それは\(0\)である、なぜなら、\(t^n f ((w_{n, 1}, ..., w_{n, j_n} + w'_{n, j_n}, ..., w_{n, k})) = t^n f ((w_{n, 1}, ..., w_{n, j_n}, ..., w_{n, k})) + t^n f ((w_{n, 1}, ..., w'_{n, j_n}, ..., w_{n, k}))\)、なぜなら、\(f\)はマルチリニアマップ（多重線形写像）である。
したがって、\(f' [v'] = f' [v]\)。
ステップ3:
\(f'\)は本当にリニア（線形）であることを見よう。
\([v], [v'] \in V_1 \otimes ... \otimes V_k\)は任意のものであるとしよう。
\([v] = [r^1 ((v_{1, 1}, ..., v_{1, k})) + ... + r^l ((v_{l, 1}, ..., v_{l, k}))]\)および\([v'] = [r'^1 ((v'_{1, 1}, ..., v'_{1, k})) + ... + r'^m ((v'_{m, 1}, ..., v'_{m, k}))]\)。
\(r [v] + r' [v'] = [r r^1 ((v_{1, 1}, ..., v_{1, k})) + ... + r r^l ((v_{l, 1}, ..., v_{l, k})) + r' r'^1 ((v'_{1, 1}, ..., v'_{1, k})) + ... + r' r'^m ((v'_{m, 1}, ..., v'_{m, k}))]\)。
\(f' (r [v] + r' [v']) = r r^1 f ((v_{1, 1}, ..., v_{1, k})) + ... + r r^l f ((v_{l, 1}, ..., v_{l, k})) + r' r'^1 f ((v'_{1, 1}, ..., v'_{1, k})) + ... + r' r'^m f ((v'_{m, 1}, ..., v'_{m, k}))\): 前と同様、ベーシス（基底）要素たちの任意の重複は問題でない、\(= r (r^1 f ((v_{1, 1}, ..., v_{1, k})) + ... + r^l f ((v_{l, 1}, ..., v_{l, k}))) + r' (r'^1 f ((v'_{1, 1}, ..., v'_{1, k})) + ... + r'^m f ((v'_{m, 1}, ..., v'_{m, k}))) = r f' ([v]) + r' f' ([v'])\)。
\(f = f' \circ g\)であることを再確認しよう。
各\((v_1, ..., v_k) \in V_1 \times ... \times V_k\)に対して、\(f' \circ g ((v_1, ..., v_k)) = f' ([((v_1, ..., v_k))]) = f ((v_1, ..., v_k))\)。
