\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるテンソルたちスペース（空間）と、リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）および\(p\)個のコタンジェントベクトルたちスペース（空間）たちおよび\(q\)個のタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）との間のカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるテンソルたちスペース（空間）と、リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）および\(p\)個のコタンジェントベクトルたちスペース（空間）たちおよび\(q\)個のタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）との間のカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( m\): \(\in M\)
\( T_mM\): \(= m \text{ のおける当該タンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間） }\)
\( B\): \(\in \{T_mM \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\), \(= \{b_1, ..., b_d\}\)
\( T_mM^*\): \(= m \text{ におけるコタンジェントベクトルたちスペース（空間） }\)
\( B^*\): \(= B \text{ の } T_mM^* \text{ に対するデュアルベーシス（基底） }\), \(= \{b^1, ..., b^d\}\)
\( {B^*}^*\): \(= B^* \text{ の } {T_mM^*}^* \text{ に対するデュアルベーシス（基底） } \), \(= \{\widetilde{b}_1, ..., \widetilde{b}_d\}\)
\( p\): \(\in \mathbb{N}\)
\( q\): \(\in \mathbb{N}\)
\( T^p_q (T_mM)\): \(= T_mM \otimes ... \otimes T_mM \otimes T_mM^* \otimes ... \otimes T_mM^*\)
\( L (T_mM^*, ..., T_mM^*, T_mM, ..., T_mM: \mathbb{R})\):
\(*f\): \(: T^p_q (T_mM) \to L (T_mM^*, ..., T_mM^*, T_mM, ..., T_mM: \mathbb{R}), t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q} [((b_{j_1}, ..., b_{j_p}, b^{l_1}, ..., b^{l_q}))] \mapsto t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q} \widetilde{b}_{j_1} \otimes ... \otimes \widetilde{b}_{j_p} \otimes b^{l_1} \otimes ... \otimes b^{l_q}\)
//
コンディションたち:
//
\(f\)は\(B\)の選択には依存しない、"注"内で見られるとおり、それが、\(f\)が"カノニカル（正典）"と呼ばれている理由である。
2: 注
\(f\)は本当に'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、なぜなら、\(\{[((b_{j_1}, ..., b_{j_p}, b^{k_1}, ..., b^{k_q}))]\}\)は\(T^p_q (T_mM)\)に対するベーシス（基底）である、任意の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）は任意のベーシス（基底）要素たちによってインデュースト（誘導された）クラスたちから構成されるベーシス（基底）を持つという命題によって; \(\{\widetilde{b}_{j_1} \otimes ... \otimes \widetilde{b}_{j_p} \otimes b^{k_1} \otimes ... \otimes b^{k_q}\}\)は\(L (T_mM^*, ..., T_mM^*, T_mM, ..., T_mM: \mathbb{R})\)に対するベーシス（基底）である、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の任意の\(k\)個のベクトルたちスペース（空間）たちに対して、当該フィールド（体）、当該ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）たちの任意のベーシス（基底）たちのデュアルベーシス（基底）たちの全ての要素たちの全てのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つという命題によって; そして、任意のベクトルたちスペース（空間）間において、任意のベーシス（基底）を任意のベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張する任意のマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題が適用される。
\(f\)は\(B\)の選択に依存しないことを見よう。
\(B' = \{b'_1, ..., b'_d\}\)を\(T_mM\)に対する任意の他のベーシス（基底）としよう。
\(B'\)によって構成されたマップ（写像）を\(f'\)としよう。
\(b'_j = b_l M^l_j\)、あるインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）\(M\)に対して。したがって、\(b_j = b'_l {M^{-1}}^l_j\)。
\(B'\)のデュアルベーシス（基底）\(B'^* = \{b'^1, ..., b'^d\}\)は\(\{{M^{-1}}^j_l b^l\}\)である、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。したがって、(b^j = M^j_l b'^l\)。
\(B'^*\)のデュアルベーシス（基底）\({B'^*}^* = \{\widetilde{b'}_1, ..., \widetilde{b'}_d\}\)は\(\{\widetilde{b}_l M^l_j\}\)である、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。したがって、\(\widetilde{b}_j = \widetilde{b'}_l {M^{-1}}^l_j\)。
すると、\([((b_{j_1}, ..., b_{j_p}, b^{l_1}, ..., b^{l_q}))] = [((b'_{m_1} {M^{-1}}^{m_1}_{j_1}, ..., b'_{m_p} {M^{-1}}^{m_p}_{j_p}, M^{l_1}_{n_1} b'^{n_1}, ..., M^{l_q}_{n_q} b'^{n_q}))] = {M^{-1}}^{m_1}_{j_1} ... {M^{-1}}^{m_p}_{j_p} M^{l_1}_{n_1} ... M^{l_q}_{n_q} [((b'_{m_1}, ..., b'_{m_p}, b'^{n_1}, ..., b'^{n_q}))]\)、それは、\(f'\)によって\({M^{-1}}^{m_1}_{j_1} ... {M^{-1}}^{m_p}_{j_p} M^{l_1}_{n_1} ... M^{l_q}_{n_q} \widetilde{b'}_{m_1} \otimes ... \otimes \widetilde{b'}_{m_p} \otimes b'^{n_1} \otimes ... \otimes b'^{n_q} = \widetilde{b'}_{m_1} {M^{-1}}^{m_1}_{j_1} \otimes ... \otimes \widetilde{b'}_{m_p} {M^{-1}}^{m_p}_{j_p} \otimes M^{l_1}_{n_1} b'^{n_1} \otimes ... \otimes M^{l_q}_{n_q} b'^{n_q} = \widetilde{b}_{j_1} \otimes ... \otimes \widetilde{b}_{j_p} \otimes b^{l_1} \otimes ... \otimes b^{l_q}\)へマップされる。
したがって、\(f' = f\)。
