1035: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるテンソルたちスペース（空間）と、リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）およびp個のコタンジェントベクトルたちスペース（空間）たちおよびq個のタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）との間のカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるテンソルたちスペース（空間）と、リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）および$p$個のコタンジェントベクトルたちスペース（空間）たちおよび$q$個のタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）との間のカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおける$(p,q)$-テンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、フィールド（体）、フィールド（体）上方の$k$個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するテンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるテンソルたちスペース（空間）と、リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）および$p$個のコタンジェントベクトルたちスペース（空間）たちおよび$q$個のタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）との間のカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ -ディメンショナル（次元） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$m$: $\in M$
$T_{m}M$: $=m\text{ のおける当該タンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間） }$
$B$: $\in \{T_{m}M\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}$, $=\{b_1,...,b_d\}$
$T_m{M}^{\ast }$: $=m\text{ におけるコタンジェントベクトルたちスペース（空間） }$
$B^{\ast }$: $=B\text{ の }{T}_m{M}^{\ast }\text{ に対するデュアルベーシス（基底） }$, $=\{b^1,...,b^d\}$
${B^{\ast }}^{\ast }$: $=B^{\ast }\text{ の }{T_m{M}^{\ast }}^{\ast }\text{ に対するデュアルベーシス（基底） }$, $=\{{\tilde{b}}_1,...,{\tilde{b}}_d\}$
$p$: $\in \mathbb{N}$
$q$: $\in \mathbb{N}$
$T_q^p(T_{m}M)$: $=T_{m}M\otimes ...\otimes T_{m}M\otimes T_m{M}^{\ast }\otimes ...\otimes T_m{M}^{\ast }$
$L(T_m{M}^{\ast },...,T_m{M}^{\ast },T_{m}M,...,T_{m}M:\mathbb{R})$:
$\ast f$: $:T_q^p(T_{m}M)\to L(T_m{M}^{\ast },...,T_m{M}^{\ast },T_{m}M,...,T_{m}M:\mathbb{R}),t_{l_1,...,l_q}^{j_1,...,j_p}[((b_{j_1},...,b_{j_p},b^{l_1},...,b^{l_q}))]\mapsto t_{l_1,...,l_q}^{j_1,...,j_p}{\tilde{b}}_{j_1}\otimes ...\otimes {\tilde{b}}_{j_p}\otimes b^{l_1}\otimes ...\otimes b^{l_q}$
//

コンディションたち:
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$f$は$B$の選択には依存しない、"注"内で見られるとおり、それが、$f$が"カノニカル（正典）"と呼ばれている理由である。

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2: 注

$f$は本当に'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、なぜなら、$\{[((b_{j_1},...,b_{j_p},b^{k_1},...,b^{k_q}))]\}$は$T_q^p(T_{m}M)$に対するベーシス（基底）である、任意の$k$個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）は任意のベーシス（基底）要素たちによってインデュースト（誘導された）クラスたちから構成されるベーシス（基底）を持つという命題によって; $\{{\tilde{b}}_{j_1}\otimes ...\otimes {\tilde{b}}_{j_p}\otimes b^{k_1}\otimes ...\otimes b^{k_q}\}$は$L(T_m{M}^{\ast },...,T_m{M}^{\ast },T_{m}M,...,T_{m}M:\mathbb{R})$に対するベーシス（基底）である、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の任意の$k$個のベクトルたちスペース（空間）たちに対して、当該フィールド（体）、当該ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）たちの任意のベーシス（基底）たちのデュアルベーシス（基底）たちの全ての要素たちの全てのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つという命題によって; そして、任意のベクトルたちスペース（空間）間において、任意のベーシス（基底）を任意のベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張する任意のマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題が適用される。

$f$は$B$の選択に依存しないことを見よう。

$B^{\prime }=\{b_1^{\prime },...,b_d^{\prime }\}$を$T_{m}M$に対する任意の他のベーシス（基底）としよう。

$B^{\prime }$によって構成されたマップ（写像）を$f^{\prime }$としよう。

$b_j^{\prime }=b_l{M}_j^l$、あるインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）$M$に対して。したがって、$b_j=b_l^{\prime }{M^{-1}}_j^l$。

$B^{\prime }$のデュアルベーシス（基底）$B^{\prime \ast }=\{b^{\prime 1},...,b^{\prime d}\}$は$\{{M^{-1}}_l^j{b}^l\}$である、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。したがって、(b^j = M^j_l b'^l\)。

$B^{\prime \ast }$のデュアルベーシス（基底）${B^{\prime \ast }}^{\ast }=\{{\widetilde{b^{\prime }}}_1,...,{\widetilde{b^{\prime }}}_d\}$は$\{{\tilde{b}}_l{M}_j^l\}$である、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。したがって、${\tilde{b}}_j={\widetilde{b^{\prime }}}_l{M^{-1}}_j^l$。

すると、$[((b_{j_1},...,b_{j_p},b^{l_1},...,b^{l_q}))]=[((b_{m_1}^{\prime }{M^{-1}}_{j_1}^{m_1},...,b_{m_p}^{\prime }{M^{-1}}_{j_p}^{m_p},M_{n_1}^{l_1}{b}^{\prime n_1},...,M_{n_q}^{l_q}{b}^{\prime n_q}))]={M^{-1}}_{j_1}^{m_1}...{M^{-1}}_{j_p}^{m_p}{M}_{n_1}^{l_1}...M_{n_q}^{l_q}[((b_{m_1}^{\prime },...,b_{m_p}^{\prime },b^{\prime n_1},...,b^{\prime n_q}))]$、それは、$f^{\prime }$によって${M^{-1}}_{j_1}^{m_1}...{M^{-1}}_{j_p}^{m_p}{M}_{n_1}^{l_1}...M_{n_q}^{l_q}{\widetilde{b^{\prime }}}_{m_1}\otimes ...\otimes {\widetilde{b^{\prime }}}_{m_p}\otimes b^{\prime n_1}\otimes ...\otimes b^{\prime n_q}={\widetilde{b^{\prime }}}_{m_1}{M^{-1}}_{j_1}^{m_1}\otimes ...\otimes {\widetilde{b^{\prime }}}_{m_p}{M^{-1}}_{j_p}^{m_p}\otimes M_{n_1}^{l_1}{b}^{\prime n_1}\otimes ...\otimes M_{n_q}^{l_q}{b}^{\prime n_q}={\tilde{b}}_{j_1}\otimes ...\otimes {\tilde{b}}_{j_p}\otimes b^{l_1}\otimes ...\otimes b^{l_q}$へマップされる。

したがって、$f^{\prime }=f$。

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参考資料

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