\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \(q\)-コベクトルたちバンドル（束）の定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \(q\)-コベクトルたちバンドル（束）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち } \}\)
\( q\): \(\in \mathbb{N}\)
\( \Lambda_q (TM)\): \(= \biguplus_{m \in M} \Lambda_q (T_mM)\)
\( \pi\): \(: \Lambda_q (TM) \to M, v \mapsto m\)、ここで、\(v \in \Lambda_q (T_mM)\)
\(*(\Lambda_q (TM), M, \pi)\): \(\in \{\text{ ランク } _dC_q \text{ の全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちバンドル（束） }\}\)
//
コンディションたち:
\((\Lambda_q (TM), M, \pi) \in \{(T^0_q (TM), M, \pi) \text{ の全ての } C^\infty \text{ サブバンドルたち }\}\)
//
\(\Lambda_q (TM)\)は、とても頻繁に暗黙的に\(\biguplus_{m \in M} \Lambda_q (T_mM: \mathbb{R})\)と同定される、カノニカル（正典）バイジェクション（全単射）\(f': \Lambda_q (TM) \to \biguplus_{m \in M} \Lambda_q (T_mM: \mathbb{R}), t \in \Lambda_q (T_mM) \mapsto f (t)\)によって、ここで、\(f\)は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるテンソルたちスペース（空間）と、リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）および\(p\)個のコタンジェントベクトルたちスペース（空間）たちおよび\(q\)個のタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）との間のカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義内で言及されているカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）。
したがって、各\(t \in \Lambda_q (TM)\)は、本当にはマルチリニアマップ（多重線形写像）ではないが、\(f' (t)\)がとても頻繁に暗黙的に使用される、\(t\)の代わりに。
2: 注
\((\Lambda_q (TM), M, \pi)\)が\((T^0_q (TM), M, \pi)\)のサブバンドルであるということが意味するのは、\(\Lambda_q (TM)\)は\(T^0_q (TM)\)のサブスペース（部分空間）トポロジーおよび\(T^0_q (TM)\)のアダプティングアトラスを持つということ（それが意味するのは、\(\Lambda_q (TM)\)は\(T^0_q (TM)\)エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であるということ）。
\((\Lambda_q (TM), M, \pi)\)は本当に\((T^0_q (TM), M, \pi)\)のサブバンドルであることを見よう、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、ファイバーたちの任意の\(k\)-ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）で任意のローカル\(C^\infty\)フレームたちを許すものは\(C^\infty\)ベクトルたちサブバンドルである、サブスペース（部分空間）トポロジーおよびアダプティングアトラスを持って、という命題によって。
注意として、以下の議論中において、私たちは暗黙的に\(\Lambda_q (TM)\)を\(\biguplus_{m \in M} \Lambda_q (T_mM: \mathbb{R})\)と同定する: 例えば、\(d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q}\)は本当は\(\biguplus_{m \in M} \Lambda_q (T_mM: \mathbb{R})\)上にあるが、私たちが本当に意味するのは、\(f'^{-1} (d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q})\)である、しかし、そういう厳密さは維持するのが困難すぎる（そして、文献にもほとんど見られない）。
\(\Lambda_q (T_mM)\)は\(T^0_q (T_mM)\)の\(_dC_q\)-ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）である。
各\(m \in M\)に対して、任意のチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)を取ろう。
\(d x^j: U_m \to T^0_1 (TM)\)は、\((T^0_1 (TM), M, \pi)\)に対するローカル\(C^\infty\)セクションである。
任意の\(j_1 \lt ... \lt j_q\)に対して、\(d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q}\)は\((T^0_q (TM), M, \pi)\)に対するローカル\(C^\infty\)セクションである、なぜなら、\(= \sum_{\sigma \in S_q} sgn \sigma d x^{j_{\sigma_1}} \otimes ... \otimes d x^{j_{\sigma_q}}\)、任意の1-コベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）は当該1-コベクトルたちのサイン（符号）付き並べ替えられたテンソルプロダクト（積）たちの和であるという命題によって、そして、各\(d x^{j_{\sigma_1}} \otimes ... \otimes d x^{j_{\sigma_q}}\)は\(C^\infty\)である。
\(\{d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q} \vert j_1 \lt ... \lt j_q\}\)は、要求されている、\(_dC_q\)個のローカル\(C^\infty\)セクションたちのセット（集合）である: 各\(m' \in U_m\)に対して、\(\{d x^{j_1} \vert_{m'} \wedge ... \wedge d x^{j_q} \vert_{m'} \vert j_1 \lt ... \lt j_q\}\)は\(\Lambda_q (T_mM: \mathbb{R})\)に対するベーシス（基底）である、任意のベクトルたちスペース（空間）の\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）のデュアルベーシス（基底）の昇順要素たちのウェッジプロダクト（楔積）たちからなるものを持つという命題によって。
