グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、\(1\)のネイバーフッド（近傍）、ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）に対して、\(1\)のシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）でそのナチュラルナンバー（自然数）乗がネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがあることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）上のポイントのネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）のシンメトリック（対称）サブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群）に対して、任意のファイナイト（有限）マルチプリケーション（積）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群）に対して、\(1\)の全てのシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）たちのセット（集合）は\(1\)におけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、\(1\)の任意のネイバーフッド（近傍）、任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）に対して、\(1\)のあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）でその当該ナチュラルナンバー（自然数）乗が当該ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)で任意のトポロジーを持ち当該グループ（群）オペレーションたちがコンティニュアス（連続）であるもの
\(N'_1\): \(\in \{1 \text{ の } G \text{ 上の全てのネイバーフッド（近傍）たち }\}\)
\(n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists N_1 \in \{1 \text{ の } G \text{ 上の全てのシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）たち }\} (N_1^n \subseteq N'_1)\)
//
2: 注
なぜ\(G\)がハウスドルフであるべきでない（したがって、\(G\)はトポロジカルグループ（群）であるべきでない）かという即座の理由を私たちは何も持っていない、しかし、私たちは本命題をある\(G\)がハウスドルフであることを証明するために使う、したがって、ハウスドルフ性は前提とされない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: コンティニュアス（連続）\(n\)-マルチプリケーション（乗法）マップ（写像）\(f_n: G \times ... \times G \to G\)のことを考え、\(1\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_1\)、つまり、\(f_n (U_1 \times ... \times U_1) \subseteq N'_1\)、を取る; ステップ2: \(1\)の以下を満たすあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）\(N_1\)、つまり、\(N_1 \subseteq U_1\)、を取り、\(N_1^n = f (N_1 \times ... \times N_1) \subseteq N'_1\)であることを見る。
ステップ1:
\(n\)-マルチプリケーション（乗法）マップ（写像）\(f_n: G \times ... \times G \to G, (g_1, ..., g_n) \mapsto g_1 ... g_n\)のことを考えよう。
\(f_n\)はコンティニュアス（連続）である、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群）に対して、任意のファイナイト（有限）マルチプリケーション（積）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
したがって、\(f_n (1, ..., 1) = 1\)であるので、\((1, ..., 1) \in G \times ... \times G\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{(1, ..., 1)} \subseteq G \times ... \times G\)、つまり、\(f_n (U_{(1, ..., 1)}) \subseteq N'_1\)、がある。
\(1\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_1 \subseteq G\)、つまり、\((1, ..., 1) \in U_1 \times ... \times U_1 \subseteq U_{(1, ..., 1)}\)、がある、プロダクトトポロジーの定義によって: \(1\)の以下を満たすなんらかのオープンネイバーフッド（開近傍）たち\(U_{1, 1}, ... U_{1, n} \subseteq G\)、つまり、\((1, ..., 1) \in U_{1, 1} \times ... \times U_{1, n} \subseteq U_{(1, ..., 1)}\)、があるところ、\(U_1 := U_{1, 1} \cap ... \cap U_{1, n}\)と取れる。
ステップ2:
\(1\)の以下を満たすあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）\(N_1\)、つまり、\(N_1 \subseteq U_1\)、がある、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群）に対して、\(1\)の全てのシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）たちのセット（集合）は\(1\)におけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）であるという命題によって。
\(f_n (N_1 \times ... \times N_1) \subseteq f_n (U_1 \times ... \times U_1) \subseteq f_n (U_{(1, ..., 1)}) \subseteq N'_1\)。
\(f_n (N_1 \times ... N_1) = N_1^n\)であることを見よう。
各\(g \in f_n (N_1 \times ... \times N_1)\)に対して、\(g = f_n ((g_1, ..., g_n)) = g_1 ... g_n \in N_1^n\); 各\(g \in N_1^n\)に対して、\(g = g_1 ... g_n = f_n ((g_1, ..., g_n)) \in f_n (N_1 \times ... \times N_1)\)。
したがって、\(N_1^n = f (N_1 \times ... \times N_1) \subseteq N'_1\)。
