グループ(群)でトポロジーを持ちコンティニュアス(連続)オペレーションたちを持つもの(特に、トポロジカルグループ(群))に対して、ファイナイト(有限)マルチプリケーション(積)マップ(写像)はコンティニュアス(連続)であることの記述/証明
話題
About: グループ(群)
About: トポロジカルスペース(空間)
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ(群)の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース(空間)の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス(連続)マップ(写像)の定義を知っている。
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース(空間)に対して、任意のプロジェクション(射影)はコンティニュアス(連続)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース(空間)から任意のファイナイト(有限)プロダクトトポロジカルスペース(空間)の中への任意のマップ(写像)はコンティニュアス(連続)である、もしも、全てのコンポーネントマップ(写像)たちがコンティニュアス(連続)である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース(空間)たちの任意のサブスペース(部分空間)たちの間の任意のマップ(写像)たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス(連続)であるものに対して、コンポジション(合成)は当該ポイントにおいてコンティニュアス(連続)であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ(群)で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス(連続)オペレーションたちを持つもの(特に、トポロジカルグループ(群))に対して、任意のファイナイト(有限)マルチプリケーション(積)マップ(写像)はコンティニュアス(連続)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ(実体)たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ(群)たち }\}\)で任意のトポロジーを持ちグループ(群)オペレーションたちがコンティニュアス(連続)であるもの
\(n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(f_n\): \(: G \times ... \times G \to G, (g_1, ..., g_n) \mapsto g_1 ... g_n\)
//
ステートメント(言明)たち:
\(f_n \in \{\text{ 全てのコンティニュアス(連続)マップ(写像)たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: それをインダクティブ(帰納的)に証明する; ステップ1: それは、\(n = 1\)および\(n = 2\)に対して成立することを見る; ステップ2: それは任意の\(n = n' - 1\)に対して成立すると仮定し、それは\(n = n'\)に対して成立することを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(f_1\)はコンティニュアス(連続)である、なぜなら、それはアイデンティティマップ(恒等写像)である。
\(f_2\)はコンティニュアス(連続)である、なぜなら、それはマルチプリケーション(乗法)マップ(写像)である。
ステップ2:
任意の\(n = n' - 1\)に対して\(f_{n' - 1}\)はコンティニュアス(連続)であると仮定しよう。
\(f_{n'}\)はコンティニュアス(連続)であることを見よう。
\(\pi_{1, ..., n' - 1}: G \times ... \times G \to G \times ... \times G, (g_1, ..., g_{n'}) \mapsto (g_1, ..., g_{n' - 1})\)を当該プロジェクション(射影)としよう、それはコンティニュアス(連続)である、任意のプロダクトトポロジカルスペース(空間)に対して、任意のプロジェクション(射影)はコンティニュアス(連続)であるという命題によって。
\(f_{n' - 1} \circ \pi_{1, ..., n' - 1}: G \times ... \times G \to G \times ... \times G \to G, (g_1, ..., g_{n'}) \mapsto (g_1, ..., g_{n' - 1}) \mapsto g_1 ... g_{n' - 1}\)はコンティニュアス(連続)である、コンティニュアス(連続)マップ(写像)たちのコンポジション(合成)として、任意のトポロジカルスペース(空間)たちの任意のサブスペース(部分空間)たちの間の任意のマップ(写像)たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス(連続)であるものに対して、コンポジション(合成)は当該ポイントにおいてコンティニュアス(連続)であるという命題によって。
\(\pi_{n'}: G \times ... \times G \to G, (g_1, ..., g_{n'}) \mapsto g_{n'}\)を当該プロジェクション(射影)としよう、それはコンティニュアス(連続)である、任意のプロダクトトポロジカルスペース(空間)に対して、任意のプロジェクション(射影)はコンティニュアス(連続)であるという命題によって。
\(f': G \times ... \times G \to G \times G, g = (g_1, ..., g_{n'}) \mapsto (f_{n' - 1} \circ \pi_{1, ..., n' - 1} (g), \pi_{n'} (g)) = (g_1 ... g_{n' - 1}, g_{n'})\)を取ろう、それはコンティニュアス(連続)である、任意のトポロジカルスペース(空間)から任意のファイナイト(有限)プロダクトトポロジカルスペース(空間)の中への任意のマップ(写像)はコンティニュアス(連続)である、もしも、全てのコンポーネントマップ(写像)たちがコンティニュアス(連続)である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(f_{n'} : G \times ... \times G \to G \times G \to G, g = (g_1, ..., g_{n'}) \mapsto (g_1 ... g_{n' - 1}, g_{n'}) \mapsto g_1 ... g_{n' - 1} g_{n'} = f_2 \circ f'\)、それはコンティニュアス(連続)である、コンティニュアス(連続)マップ(写像)たちのコンポジション(合成)として。
ステップ3:
したがって、インダクションプリンシプル(帰納法)によって、各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(f_n\)はコンティニュアス(連続)である。