グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、ファイナイト（有限）マルチプリケーション（積）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のプロジェクション（射影）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、全てのコンポーネントマップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、任意のファイナイト（有限）マルチプリケーション（積）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)で任意のトポロジーを持ちグループ（群）オペレーションたちがコンティニュアス（連続）であるもの
\(n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(f_n\): \(: G \times ... \times G \to G, (g_1, ..., g_n) \mapsto g_1 ... g_n\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f_n \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: それをインダクティブ（帰納的）に証明する; ステップ1: それは、\(n = 1\)および\(n = 2\)に対して成立することを見る; ステップ2: それは任意の\(n = n' - 1\)に対して成立すると仮定し、それは\(n = n'\)に対して成立することを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(f_1\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、それはアイデンティティマップ（恒等写像）である。
\(f_2\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、それはマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）である。
ステップ2:
任意の\(n = n' - 1\)に対して\(f_{n' - 1}\)はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。
\(f_{n'}\)はコンティニュアス（連続）であることを見よう。
\(\pi_{1, ..., n' - 1}: G \times ... \times G \to G \times ... \times G, (g_1, ..., g_{n'}) \mapsto (g_1, ..., g_{n' - 1})\)を当該プロジェクション（射影）としよう、それはコンティニュアス（連続）である、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のプロジェクション（射影）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
\(f_{n' - 1} \circ \pi_{1, ..., n' - 1}: G \times ... \times G \to G \times ... \times G \to G, (g_1, ..., g_{n'}) \mapsto (g_1, ..., g_{n' - 1}) \mapsto g_1 ... g_{n' - 1}\)はコンティニュアス（連続）である、コンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのコンポジション（合成）として、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
\(\pi_{n'}: G \times ... \times G \to G, (g_1, ..., g_{n'}) \mapsto g_{n'}\)を当該プロジェクション（射影）としよう、それはコンティニュアス（連続）である、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のプロジェクション（射影）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
\(f': G \times ... \times G \to G \times G, g = (g_1, ..., g_{n'}) \mapsto (f_{n' - 1} \circ \pi_{1, ..., n' - 1} (g), \pi_{n'} (g)) = (g_1 ... g_{n' - 1}, g_{n'})\)を取ろう、それはコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、全てのコンポーネントマップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(f_{n'} : G \times ... \times G \to G \times G \to G, g = (g_1, ..., g_{n'}) \mapsto (g_1 ... g_{n' - 1}, g_{n'}) \mapsto g_1 ... g_{n' - 1} g_{n'} = f_2 \circ f'\)、それはコンティニュアス（連続）である、コンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのコンポジション（合成）として。
ステップ3:
したがって、インダクションプリンシプル（帰納法）によって、各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(f_n\)はコンティニュアス（連続）である。
