\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \((0, q)\)-アンチシンメトリック（反対称）-テンソルたちバンドル（束）の定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \((0, q)\)-アンチシンメトリック（反対称）-テンソルたちバンドル（束）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち } \}\)
\( q\): \(\in \mathbb{N}\)
\( \Lambda^0_q (TM)\): \(= \biguplus_{m \in M} \Lambda^0_q (T_mM)\)
\( \pi\): \(: \Lambda^0_q (TM) \to M, v \mapsto m\)、ここで、\(v \in \Lambda^0_q (T_mM)\)
\(*(\Lambda^0_q (TM), M, \pi)\): \(\in \{ \text{ ランク } _dC_q \text{ の全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちバンドル（束）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\((\Lambda^0_q (TM), M, \pi) \in \{(T^0_q (TM), M, \pi) \text{ の全ての } C^\infty \text{ サブバンドル（部分束）たち }\}\)
//
\(\Lambda^0_q (TM)\)は、とても頻繁に、暗黙に、\(\biguplus_{m \in M} \Lambda_q (T_mM: \mathbb{R})\)と同一視される、カノニカル（正典）バイジェクション（全単射）\(f': \Lambda^0_q (TM) \to \biguplus_{m \in M} \Lambda_q (T_mM: \mathbb{R}), t \in \Lambda^0_q (T_mM) \mapsto f (t)\)によって、ここで、\(f\)は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）と、リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）および\(p\)個のコタンジェントベクトルたちスペース（空間）たちおよび\(q\)個のタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）との間のカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義内で言及されたカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
したがって、各\(t \in \Lambda^0_q (TM)\)は本当にはマルチリニアマップ（多重線形写像）ではないが、\(f' (t)\)が、とても頻繁に、暗黙に、\(t\)の代わり使われる。
2: 注
\((\Lambda^0_q (TM), M, \pi)\)が\((T^0_q (TM), M, \pi)\)の \(C^\infty\)サブバンドル（部分束）であることが意味するのは、\(\Lambda^0_q (TM)\)は、\(T^0_q (TM)\)のサブスペース（部分空間）トポロジーおよび\(T^0_q (TM)\)のアダプティングアトラスを持つということ（それが意味するのは、\(\Lambda^0_q (TM)\)は\(T^0_q (TM)\)のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であるということ）。
\((\Lambda^0_q (TM), M, \pi)\)は本当に\((T^0_q (TM), M, \pi)\)の \(C^\infty\)サブバンドル（部分束）であることを見よう、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、ファイバーたちの任意の\(k\)-ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）で任意のローカル\(C^\infty\)フレームたちを許すものは\(C^\infty\)ベクトルたちサブバンドルである、サブスペース（部分空間）トポロジーおよびアダプティングアトラスを持って、という命題によって。
\(\Lambda^0_q (T_mM)\)は、\(T^0_q (T_mM)\)の\(_dC_q\)-ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）である。
各\(m \in M\)に対して、任意のチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)を取ろう。
\(d x^j: U_m \to T^0_1 (TM)\)は、\((T^0_1 (TM), M, \pi)\)に対する\(C^\infty\)ローカルセクション（断面）である。
任意の\(j_1 \lt ... \lt j_q\)に対して、\(d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q}\)は、\((T^0_q (TM), M, \pi)\)に対する\(C^\infty\)ローカルセクション（断面）である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、任意の\(C^\infty\)フォームたちのウェッジプロダクト（楔積）は\(C^\infty\)フォームであるという命題によって。
\(\{d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q} \vert j_1 \lt ... \lt j_q\}\)は、要求されている\(_dC_q\)個の\(C^\infty\)ローカルセクション（断面）たちのセット（集合）である: 各\(m' \in U_m\)に対して、\(\{d x^{j_1} \vert_{m'} \wedge ... \wedge d x^{j_q} \vert_{m'} \vert j_1 \lt ... \lt j_q\}\)は\(\Lambda_q (T_mM: \mathbb{R})\)に対するベーシス（基底）である、任意のベクトルたちスペース（空間）の\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）のデュアルベーシス（基底）の昇順要素たちのウェッジプロダクト（楔積）たちからなるものを持つという命題によって。
