オリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間のローカルディフェオモーフィズムは、コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）上方においてオリエンテーション-維持またはオリエンテーション-反転であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、オリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、オリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間のオリエンテーション-維持ローカルディフェオモーフィズムの定義を知っている。
- 読者は、オリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間のオリエンテーション-反転ローカルディフェオモーフィズムの定義を知っている。
- 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のオリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意のローカルディフェオモーフィズムはローカルにオリエンテーション-維持またはオリエンテーション-反転であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のオリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意のローカルディフェオモーフィズムは、各コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）上方においてオリエンテーション-維持またはオリエンテーション-反転であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元）オリエンテッド（方向付けされた） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元）オリエンテッド（方向付けされた） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全てのローカルディフェオモーフィズムたち }\}\)
\(T_1\): \(\in \{M_1 \text{ の全てのコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall t \in T_1 (\forall (v_1, ..., v_d) \in \{T_tM_1 \text{ に対する全てのオリエンテッド（方向付けされた）ベーシス（基底）たち }\} ((d f v_1, ..., d f v_d) \in \{T_{f (t)}M_2 \text{ に対する全てのオリエンテッド（方向付けされた）ベーシス（基底）たち }\}))\)
\(\lor\)
\(\forall t \in T_1 (\forall (v_1, ..., v_d) \in \{T_tM_1 \text{ に対する全てのオリエンテッド（方向付けされた）ベーシス（基底）たち }\} ((d f v_1, ..., d f v_d) \in \{T_{f (t)}M_2 \text{ に対する全てのネガティブ（負）に-オリエンテッド（方向付けされた）ベーシス（基底）たち }\}))\)
//
2: 注
オリエンテーション-維持ローカルディフェオモーフィズムの定義およびオリエンテーション-反転ローカルディフェオモーフィズムの定義の各々は、当該マップ（写像）は、当該ドメイン（定義域）の各ポイントにおいてオリエンテーション-維持またはオリエンテーション-反転であるよう要求している。
それでは、各ローカルディフェオモーフィズムは、オリエンテーション-維持またはオリエンテーション-反転であるか？
いいえ、なぜなら、当該ドメイン（定義域）はコネクテッド（連結された）でないかもしれない、そして、当該マップ（写像）は、あるコネクテッド（連結された）-コンポーネント上方でオリエンテーション-維持で別のコネクテッド（連結された）-コンポーネント上方でオリエンテーション-反転かもしれない。
本命題は、当該マップ（写像）は少なくとも各コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）上方においてオリエンテーション-維持またはオリエンテーション-反転であると主張している。
各コネクテッド（連結された）-コンポーネントはコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）である、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできない任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならないという命題によって、したがって、当該マップ（写像）は、各コネクテッド（連結された）-コンポーネント上方においてオリエンテーション-維持またはオリエンテーション-反転である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(t_1 \in T_1\)に対して、\(t_1\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t_1}\)、つまり、\(f \vert_{U_{t_1}}: U_{t_1} \to f (U_{t_1})\)はオリエンテーション-維持またはオリエンテーション-反転である、を取る; ステップ2: それらのオリエンテーション-維持オープンネイバーフッド（開近傍）たちのユニオン（和集合）\(U\)およびそれらのオリエンテーション-反転オープンネイバーフッド（開近傍）たちのユニオン（和集合）\(U'\)を取り、\(T_1 \cap U\)および\(T_1 \cap U'\)は\(T_1\)のオープンサブセット（開部分集合）たちであり\((T_1 \cap U) \cap (T_1 \cap U') = \emptyset\)であることを見る; ステップ3: \(T_1 \cap U = \emptyset\)または\(T_1 \cap U' = \emptyset\)であることを見る。
ステップ1:
各\(t_1 \in T_1\)に対して、\(t_1\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t_1} \subseteq M_1\)、つまり、\(f \vert_{U_{t_1}}: U_{t_1} \to f (U_{t_1})\)はオリエンテーション-維持またはオリエンテーション-反転である、を取ろう、それは可能である、任意のオリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意のローカルディフェオモーフィズムはローカルにオリエンテーション-維持またはオリエンテーション-反転であるという命題によって。
ステップ2:
ステップ1内で取られた全てのオリエンテーション-維持オープンネイバーフッド（開近傍）たちのユニオン（和集合）\(U\)を取ろう。
ステップ1内で取られた全てのオリエンテーション-反転オープンネイバーフッド（開近傍）たちのユニオン（和集合）\(U'\)を取ろう。
\(U\)および\(U'\)は\(M_1\)上でオープン（開）である、オープンサブセット（開部分集合）たちのユニオン（和集合）たちとして。
したがって、\(T_1 \cap U\)および\(T_1 \cap U'\)は\(T_1\)のオープンサブセット（開部分集合）たちである、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。
\((T_1 \cap U) \cap (T_1 \cap U') = \emptyset\)、なぜなら、もしも、\(u \in (T_1 \cap U) \cap (T_1 \cap U')\)である場合、\(f\)は\(u\)においてオリエンテーション-維持またはオリエンテーション-反転であることになる、それは不可能であろう、なぜなら、あるポイントにおいてオリエンテーション-維持であることと同一のポイントにおいてオリエンテーション-反転であることは、排他的である: \(T_uM_1\)に対する任意のオリエンテッド（方向付けされた）任意のベーシス（基底）\((b_1, ..., b_d)\)に対して、もしも、\((d f_u b_1, ..., d f_u b_d)\)がオリエンテッド（方向付けされた）である場合、\(f\)は\(u\)においてオリエンテーション-維持であるがオリエンテーション-反転でなく、もしも、\((d f_u b_1, ..., d f_u b_d)\)はネガティブ（負）に-オリエンテッド（方向付けされた）である場合、\(f\)はオリエンテーション-反転であるがオリエンテーション-維持でない。
ステップ3:
\(T_1 = (T_1 \cap U) \cup (T_1 \cap U')\)、なぜなら、各\(t_1 \in T_1\)は\(U\)または\(U'\)内にある。
もしも、\(T_1 \cap U \neq \emptyset\)および\(T_1 \cap U' \neq \emptyset\)である場合、\(T_1\)はコネクテッド（連結された）ではないことになる、\(T_1\)はコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）であることに反する矛盾。
したがって、\(T_1 \cap U = \emptyset\)または\(T_1 \cap U' = \emptyset\)。
それは意味するのは、ステップ1で取られた全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たちはオリエンテーション-維持であるまたはステップ1で取られた全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たちはオリエンテーション-反転であるということ。
それは、明らかに本命題を含意する。
