オリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間のローカルディフェオモーフィズムはローカルにオリエンテーション-維持またはオリエンテーション-反転であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、オリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、オリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間のオリエンテーション-維持ローカルディフェオモーフィズムの定義を知っている。
- 読者は、オリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間のオリエンテーション-反転ローカルディフェオモーフィズムの定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方の任意のセクション（断面）は\(C^\infty\)である、もしも、そこ上方の任意の\(C^\infty\)フレームに関する係数たちが\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の\(C^\infty\)マップ（写像）および任意の対応するチャートたちに対して、当該マップ（写像）のディファレンシャルの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれであるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、から任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の任意のポイントイメージ（像）の任意のネイバーフッド（近傍）上への任意のディフェオモーフィズムに対して、当該ディフェオモーフィズムまたはその任意のコドメイン（余域）エクステンション（拡張）の当該ポイントにおけるディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のオリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意のローカルディフェオモーフィズムはローカルにオリエンテーション-維持またはオリエンテーション-反転であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元）オリエンテッド（方向付けされた） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元）オリエンテッド（方向付けされた） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全てのローカルディフェオモーフィズムたち }\}\)
//
ステートメントたち:
\(\forall m_1 \in M_1 (\exists U_{m_1} \in \{m_1 \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (f \vert_{U_{m_1}}: U_{m_1} \to f (U_{m_1}) \in \{\text{ 全てのオリエンテーション-維持ディフェオモーフィズムたち }\} \cup \{\text{ 全てのオリエンテーション-反転ディフェオモーフィズムたち }\}))\)
//
2: 注
オリエンテーション-維持ローカルディフェオモーフィズムの定義およびオリエンテーション-反転ローカルディフェオモーフィズムの定義の各々は、当該マップ（写像）は、当該ドメイン（定義域）の各ポイントにおいてオリエンテーション-維持またはオリエンテーション-反転であるよう要求している。
それでは、各ローカルディフェオモーフィズムは、オリエンテーション-維持またはオリエンテーション-反転であるか？
いいえ、なぜなら、当該ドメイン（定義域）はコネクテッド（連結された）でないかもしれない、そして、当該マップ（写像）は、あるコネクテッド（連結された）-コンポーネント上方でオリエンテーション-維持で別のコネクテッド（連結された）-コンポーネント上方でオリエンテーション-反転かもしれない。
本命題は、当該マップ（写像）は少なくともローカルにオリエンテーション-維持またはオリエンテーション-反転であると主張している。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(m_1 \in M_1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{m_1}\)上方の任意のオリエンテッド（方向付けされた）ローカル\(C^\infty\)フレーム\((v_1, ..., v_d)\)を取り、\(m_1\)の周りの以下を満たすあるコネクテッド（連結された）チャート\((U_{m_1} \subseteq M_1, \phi_{m_1})\)、つまり、\(U_{m_1} \subseteq U'_{m_1}\)、を取り、当該チャートは'ポジティブ（正）またはネガティブ（負）に'-オリエンテッド（方向付けされた）であることを見る、同様に、\(f (m_1)\)の周りの任意のオリエンテッド（方向付けされた）ローカル\(C^\infty\)フレーム\((w_1, ..., w_d)\)を取り、\(f (m_1)\)の周りのある'ポジティブ（正）またはネガティブ（負）に'-オリエンテッド（方向付けされた）コネクテッド（連結された）チャートを取る ; ステップ2: \((d f v_1, ..., d f v_d)\)を\((w_1, ..., w_d)\)で表現し、当該トランジション（遷移）マトリックス（行列）のデターミナント（行列式）は決定的にポジティブ（正）または決定的にネガティブ（負）であることを見る。
ステップ1:
\(m_1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{m_1} \subseteq M_1\)の上方にあるオリエンテッド（方向付けされた）ローカル\(C^\infty\)フレーム\((v_1, ..., v_d)\)がある。
\(m_1\)の周りに以下を満たすあるコネクテッド（連結された）チャート\((U_{m_1} \subseteq M_1, \phi_{m_1})\)、つまり、\(U_{m_1} \subseteq U'_{m_1}\)、がある。
\((\partial / \partial x^1, ..., \partial / \partial x^d)\)は、トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）\(U_{m_1}\)上方の\(C^\infty\)フレームである。
\(v_j = \partial / \partial x^l M^l_j\)、ここで、\(M^l_j\)は\(C^\infty\)である、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方の任意のセクション（断面）は\(C^\infty\)である、もしも、そこ上方の任意の\(C^\infty\)フレームに関する係数たちが\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(det M \neq 0\)、\(U_{m_1}\)上方全体において、なぜなら、そうでなければ、\((v_1, ..., v_d)\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）ではないことになる、したがって、\(U_{m_1}\)上方全体において\(0 \lt det M\)または\(U_{m_1}\)上方全体において\(det M \lt 0\)、なぜなら、\(det M: U_{m_1} \to \mathbb{R}\)は\(C^\infty\)である（したがって、コンティニュアス（連続）である）ところ、\(det M (U_{m_1})\)はコネクテッド（連続）である。
\(0 \lt det M\)である時、当該チャートはポジティブ（正）にオリエンテッド（方向付けされた）である; \(det M \lt 0\)である時、当該チャートはネガティブ（負）にオリエンテッド（方向付けされた）である。
\(f (m_1) \in M_2\)に対して同様にしよう、以下のように。
\(f (m_1)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{f (m_1)} \subseteq M_2\)上方にあるオリエンテッド（方向付けされた）ローカル\(C^\infty\)フレーム\((w_1, ..., w_d)\)がある。
\(f (m_1)\)の周りに以下を満たすあるコネクテッド（連結された）チャート\((U_{f (m_1)} \subseteq M_2, \phi_{f (m_1)})\)、つまり、\(U_{f (m_1)} \subseteq U'_{f (m_1)}\)、がある。
\((\partial / \partial y^1, ..., \partial / \partial y^d)\)は、トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）\(U_{f (m_1)}\)上方の\(C^\infty\)フレームである。
\(w_j = \partial / \partial y^l N^l_j\)、ここで、\(N^l_j\)は\(C^\infty\)である、前と同様。
\(U_{f (m_1)}\)上方全体において\(0 \lt det N\)または\(U_{f (m_1)}\)上方全体において\(det N \lt 0\)。
\(0 \lt det N\)である時、当該チャートはポジティブ（正）にオリエンテッド（方向付けされた）である; \(det N \lt 0\)である時、当該チャートはネガティブ（負）にオリエンテッド（方向付けされた）である。
\(f\)はローカルディフェオモーフィズムであるから、\(U_{m_1}\)および\(U_{f (m_1)}\)を必要であればより小さく取って、\(f (U_{m_1}) = U_{f (m_1)}\)および\(f \vert_{U_{m_1}}: U_{m_1} \to U_{f (m_1)}\)はディフェオモーフィズムであるようにできる: 以下を満たす何らかの\(U''_{m_1} \subseteq M_1\)および\(U''_{f (m_1)} \subseteq M_2\)、つまり、\(f \vert_{U''_{m_1}}: U''_{m_1} \to U''_{f (m_1)}\)はディフェオモーフィズムである、を取る; \(m\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'''_{m_1} \subseteq M_1\)、つまり、\(f (U'''_{m_1}) \subseteq U_{f (m_1)}\)、を取る; もしも、\(U''_{m_1} \cap U'''_{m_1} \cap U_{m_1}\)はコネクテッド（連結された）である場合、それを、新たな\(U_{m_1}\)とし、そうでなければ、それに包含されている\(m_1\)の任意のコネクテッド（連結された）オープンネイバーフッド（開近傍）を新たな\(U_{m_1}\)とする; \(f (U_{m_1})\)を新たな\(U_{f (m_1)}\)とする: 新たな\(U_{m_1}\)は、\(U''_{m_1}\)のおよび\(M_1\)のオープンサブセット（開部分集合）であり、新たな\(U_{f (m_1)}\)は\(U''_{f (m_1)}\)のオープンサブセット（開部分集合）であり、したがって、\(M_2\)上でオープン（開）である、そして、新たな\(f \vert_{U_{m_1}}: U_{m_1} \to U_{f (m_1)}\)は、\(f \vert_{U''_{m_1}}: U''_{m_1} \to U''_{f (m_1)}\)のオープン（開）ドメイン（定義域）リストリクション（制限）であり、したがって、ディフェオモーフィズムである。
ステップ2:
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の\(C^\infty\)マップ（写像）および任意の対応するチャートたちに対して、当該マップ（写像）のディファレンシャルの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれであるという命題によって、\(d f v_n = \partial_l \hat{f}^j M^l_n \partial / \partial y^j\): \(M^l_n\)たちは\(v_n\)のコンポーネントたちである。
\(w_j = \partial / \partial y^l N^l_j\)であるから、\(\partial / \partial y^j = w_s {N^{-1}}^s_j\)、ここで、\(N^{-1}\)は\(N\)のインバースマトリックス（逆行列）。
\(det N^{-1} = 1 / det N\)、それは、\(det N\)がポジティブ（正）かネガティブ（負）かによって、ポジティブ（正）またはネガティブ（負）である。
\(d f v_n = \partial_l \hat{f}^j M^l_n {N^{-1}}^s_j w_s\)。
\(\partial_l \hat{f}^j\)を\(O^j_l\)と表記しよう。
注意として、\(O^j_l\)は本当は\(: \phi_{m_1} (U_{m_1}) \to \mathbb{R}\)であるが、私たちは、これ以降、時々、それが、\(: U_{m_1} \to \mathbb{R}\)であるかのようにずさんに語るだろう: 実際には、\(O^j_l \circ \phi_{m_1}\)がそうなのだが、そういうより厳密な表現たちをすれば、多分より煩わしい思いをさせるだろう。
\(det O^j_l \neq 0\)、\(U_{m_1}\)上方全体において、なぜなら、各\(m'_1 \in U_{m_1}\)に対する\(O\)は\(d f_{m'_1}: T_{m'_1}M_1 \to T_{f (m'_1)}M_2\)に対するコンポーネントたちトランジション（遷移）マトリックス（行列）であるところ、\(d f_{m'_1}\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、から任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の任意のポイントイメージ（像）の任意のネイバーフッド（近傍）上への任意のディフェオモーフィズムに対して、当該ディフェオモーフィズムまたはその任意のコドメイン（余域）エクステンション（拡張）の当該ポイントにおけるディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって、そして、リニアにインディペンデント（線形独立）な\((v_1, ..., v_d)\)はリニアにインディペンデント（線形独立）な\((d f v_1, ..., d f v_d)\)へマップされる。
前と同様、\(det O: U_{m_1} \to \mathbb{R}\)は\(C^\infty\)であり\(U_{m_1}\)はコネクテッド（連結された）であるから、\(U_{m_1}\)上方全体において\(0 \lt det O\)または\(U_{m_1}\)上方全体において\(det O \lt 0\)。
\(d f v_n = w_s {N^{-1}}^s_j \partial_l \hat{f}^j M^l_n = w_s {N^{-1}}^s_j O^j_l M^l_n = w_s (N^{-1} O M)^s_n\)。
したがって、\((w_1, ..., w_d)\)から\((d f v_1, ..., d f v_d)\)へのトランジション（遷移）マトリックス（行列）は\(N^{-1} O M\)であり、\(det (N^{-1} O M) = det N^{-1} det O det M\)、それは、\(U_{f (m_1)}\)上方全体においてポジティブ（正）であるまたは\(U_{f (m_1)}\)上方全体においてネガティブ（負）である。
したがって、\(f \vert_{U_{m_1}}\)は、オリエンテーション-維持またはオリエンテーション-反転である。
