\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方のセクション（断面）は\(C^\infty\)である、もしも、そこ上方の\(C^\infty\)フレームに関する係数たちが\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ランク\(k\)の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、リストリクテッド（制限された）\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）のセクション（断面）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）上のローカル\(C^\infty\)フレームの定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、あるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の各ポイントにおいてより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方の任意のセクション（断面）は\(C^\infty\)である、もしも、そこ上方の任意の\(C^\infty\)フレームに関する係数たちが\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((E, M, \pi)\): \(\in \{\text{ ランク } k \text{ の全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちバンドル（束）たち }\}\)
\(U\): \(\in \{M \text{ の全てのトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
\(s\): \(: U \to \pi^{-1} (U)\), \(\in \{\pi \vert_{\pi^{-1} (U)} \text{ の全てのセクション（断面）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(s \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち } \}\)
\(\implies\)
\(\forall \{s_1, s_2, ..., s_k\} \in \{\pi^{-1} (U) \text{ 上の全ての } C^\infty \text{ フレームたち }\} (s = s^j s_j \text{ 、ここで、 } s^j: U \to \mathbb{R} \land s^j \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\})\)
)
\(\land\)
(
\(\exists \{s_1, s_2, ..., s_k\} \in \{\pi^{-1} (U) \text{ 上の全ての } C^\infty \text{ フレームたち }\} (s = s^j s_j \text{ 、ここで、 } s^j: U \to \mathbb{R} \land s^j \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\})\)
\(\implies\)
\(s \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち } \}\)
)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各ポイント\(p \in U\)の周りに、以下を満たすあるチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）\(U'_p \subseteq M\)、つまり、\(U'_p \subseteq U\)、およびインデュースト（誘導された）チャート\((\pi^{-1} (U'_p) \subseteq E, \widetilde{\phi})\)を取る; ステップ2: \(s^j\)は\(C^\infty\)であると仮定し、\(s\)は\(C^\infty\)であることを見る、\(s\)の、当該チャートたちに関するコンポーネントたちは\(C^\infty\)であることを見ることによって; ステップ3: \(s\)は\(C^\infty\)であると仮定し、\(s^j\)は\(C^\infty\)であることを見る、スタンダードフレームおよび\(s\)のスタンダードフレームに関するコンポーネントたちを取り、\(s^j\)たちを当該コンポーネントたちの\(C^\infty\)ファンクション（関数）たちとして見ることによって。
ステップ1:
\(s\)または\(s^j\)は\(C^\infty\)である、もしも、それが各ポイント\(p \in U\)において\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って。したがって、\(p\)における\(C^\infty\)性を見よう。
任意のマップ（写像）のポイントにおける\(C^\infty\)性は、常に、当該ポイントの周りのあるドメイン（定義域）チャートおよび当該ポイントのイメージ（像）の周りのあるコドメイン（余域）チャートに関して判断される、したがって、そういうチャートたちを取ろう。
\(p \in U\)の周りに、以下を満たすあるチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）\(U'_p \subseteq M\)、つまり、\(U'_p \subseteq U\)、インデュースト（誘導された）チャート\((\pi^{-1} (U'_p) \subseteq E, \widetilde{\phi})\)がある、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、あるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の各ポイントにおいてより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があるという命題および任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題によって。\(\phi\)を\(U'_p\)上のチャートマップ（写像）とし、\(\Phi\)をトリビアライゼーションとしよう。
ステップ2:
\(s^j\)は\(C^\infty\)であると仮定しよう。
\(s\)は\(C^\infty\)であることを見よう。
\(s\)の当該チャートたちに関するコンポーネントたちは\(C^\infty\)であることを見よう。
\(p' \in U'_p\)は任意のポイントであるとしよう。
\(s_j (p')\)のコーディネート（座標）たちは\(\widetilde{\phi} (s_j (p')) = ({s_j (p')}^1, ..., {s_j (p')}^k, p'^1, ..., p'^d)\)であり、\(s_j\)は\(C^\infty\)セクション（断面）であるから、\({s_j (p')}^k\)は\((p'^1, ..., p'^d)\)に関して\(C^\infty\)である。
\(s (p')\)のコーディネート（座標）たちは\(\widetilde{\phi} (s (p')) = \lambda \circ (\phi, id) \circ \Phi (s (p'))\)、ここで、\(\lambda: \mathbb{R}^{d + k} \to \mathbb{R}^{d + k}, (x^1, ..., x^d, x^{d + 1}, ..., x^{d + k}) \mapsto (x^{d + 1}, ..., x^{d + k}, x^1, ..., x^d)\)、\(= \lambda \circ (\phi, id) \circ \Phi (s^j (p') s_j (p')) = \lambda \circ (\phi, id) (s^j (p') \Phi (s_j (p')))\)、なぜなら、任意のトリビアライゼーションは各ファイバーにおいて'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、\(= (s^j (p') {s_j (p')}^1, ..., s^j (p') {s_j (p')}^k, p'^1, p'^2, ..., p'^d)\)、そして、\(s^j (p')\)および\({s_j (p')}^j\)は\(C^\infty\)であるから、当該コンポーネントたちは\(p'^1, p'^2, ..., p'^d\)に関して\(C^\infty\)である、それが意味するのは、\(s\)は\(C^\infty\)であるということ。
ステップ3:
\(s\)は\(C^\infty\)であると仮定しよう。
\(p' \in U'_p\)は任意のポイントであるとしよう。
\(\Phi (\pi^{-1} (U'_p)) = U'_p \times \mathbb{R}^k\)上にカノニカル（正典）フレーム\(e'_1, ..., e'_k\)がある、それが意味するのは、\(e'_j: U'_p \to U'_p \times \mathbb{R}^k, p' \to (p', 0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)\)、ここで、\(1\)は\(\mathbb{R}^k\)のj-番目コンポーネント。
\(\pi^{-1} (U'_p)\)上にインデュースト（誘導された）\(C^\infty\)フレーム\((e_1, ..., e_k)\)、ここで、\(e_j (p') := \Phi^{-1} (e'_j (p'))\)、がある、それは本当に\(C^\infty\)である、なぜなら、\(e_j (p')\)のコーディネート（座標）たちは\((0, 0, ..., 1, ..., 0, p'^1, p'^2, ..., p'^d)\)、ここで、\(1\)は\(\mathbb{R}^k\)内の\(j\)-番目コンポーネント、であり、本当にフレームである、なぜなら、\(\Phi^{-1}\)は各ファイバーにおいて'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
\(s = s'^j e_j\)としよう。\(s (p')\)のコーディネート（座標）たちは\(\widetilde{\phi} (s (p')) = \widetilde{\phi} (s'^j (p') e_j (p')) = \lambda \circ (\phi, id) \circ \Phi (s'^j (p') e_j (p')) = \lambda \circ (\phi, id) (s'^j (p') \Phi (e_j (p'))) = \lambda \circ (\phi, id) (s'^j (p') e'_j (p')) = (s'^1 (p'), ..., s'^k (p'), p'^1, p'^2, ..., p'^d)\)である。\(s\)が\(C^\infty\)であるというのは、当該コーディネート（座標）たちは、\(p'^1, ..., p'^d\)のファンクション（関数）たちとして\(C^\infty\)であることに他ならない、したがって、\(s'^j\)は\(C^\infty\)である。
\(s_j = s'^l_j e_l\)であるとしよう。\(s'^l_j\)は\(C^\infty\)である、前パラグラフによって。\(s = s^j s_j = s^j s'^l_j e_l\)、したがって、\(s'^j = s^l s'^j_l\)。マトリックス（行列）\(S' (p') = [s'^j_l (p')]\)は当該2ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちトランスフォーメーション（変換）のマトリックス（行列）であり、インバーティブル（可逆）である。\(S'\)のコンポーネントたちは\(p'\)に関して\(C^\infty\)であるから、\(S'^{-1}\)のコンポーネントたちは\(p'\)に関して\(C^\infty\)である: ラプラス展開を使ってインバースマトリックス（逆行列）を得る。\(s^j\)は\(S'^{-1}\)のコンポーネントたちおよび\(s'^l\)の何らかのマルチプリケーション（積）たちの和であるから、それは\(C^\infty\)である。
3: 注
本命題が言っているのは、もしも、\(s\)の係数たちが任意の1つの\(C^\infty\)に関して\(C^\infty\)であれば（そうした全てのフレームに対してチェックする必要はない）、当該セクション（断面）は\(C^\infty\)であり、もしも、当該セクション（断面）\(C^\infty\)であれば、係数たちは任意の\(C^\infty\)フレーム（断面）に関して（したがって、全ての\(C^\infty\)フレームに関して）\(C^\infty\)である、ということ。
当該トリビアライジングオープンセット（開集合）は、もしもある\(C^\infty\)フレームがそこにあれば任意のオープンセット（開集合）でよいように思われるかもしれないが、実のところ、そうした任意のオープンサブセット（開部分集合）は結局のところあるトリビアライジングオープンセット（開集合）でなければならない、任意の\(C^\infty\)フレームを持つためには、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意の\(C^\infty\)フレームは任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方に、そしてその上方のみに存在するという命題によって。
