ベクトルたちバンドル（束）に対して、トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方のセクション（断面）は\(C^\infty\)である、もしも、そこの上方の\(C^\infty\)フレームに関するコエフィシェント（係数）たちが\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、リストリクテッド（制限された）\(C^\infty\) ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\) ベクトルたちバンドル（束）上の\(C^\infty\)セクション（断面）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\) ベクトルたちバンドル（束）上の\(C^\infty\)フレームの定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、あるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の任意のポイントにより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があるという命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼイションは自然なチャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方の任意のセクション（断面）は\(C^\infty\)である、もしも、当該トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方の任意の\(C^\infty\)フレームに関する当該セクション（断面）のコエフィシェント（係数）たちが\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(M\)、任意のベクトルたちバンドル（束）\(\pi: E \rightarrow M\)、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）\(U\)、任意のセクション（断面）\(s: U \rightarrow E\vert_U\)に対して、\(s\)は\(C^\infty\)である、もしも、\(U\)上方の任意の\(C^\infty\)フレームに関する\(s\)のコエフィシェント（係数）たち\(s_1, s_2, ..., s_{d'}\)が\(C^\infty\)である、つまり、\(s = s^i s_i\)に対して、\(s^i\)は\(C^\infty\)である、場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
任意のポイント\(p \in U\)の周りに、あるチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）\(U'_p \subseteq U\)およびインデュースト（誘導）チャート\((\pi^{-1} (U'_p), \phi'')\)がある、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、あるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の任意のポイントにより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があるという命題および任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼイションは自然なチャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題によって。\(\phi\)が当該\(U'_p\)上チャートマップ（写像）であり、\(\phi'\)が当該トリビアライゼイションである。
\(s^i\)は\(C^\infty\)であると仮定しよう。\(p' \in U'_p\)を任意のポイントとしよう。\(s_i (p')\)のコーディネート（座標）たちは\(\phi'' (s_i (p')) = (p'^1, p'^2, ..., p'^d, {s_i (p')}^1, {s_i (p')}^2, ..., {s_i (p')}^{d'})\)であり、\(s_i\)は\(C^\infty\)セクション（断面）であるから、\({s_i (p')}^i\)は\(p'^1, p'^2, ..., p'^d\)に関して\(C^\infty\)である。\(s (p')\)のコーディネート（座標）たちは\(\phi'' (s (p')) = (\phi, id) \circ \phi' (s (p')) = (\phi, id) \circ \phi' (s^i (p') s_i (p')) = (\phi, id) (s^i (p') \phi' (s_i (p')))\)である、なぜなら、任意のトリビアライゼイションは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'各ファイバーにおいてアイソモーフィック（同形写像）である。そして、\(= (p'^1, p'^2, ..., p'^d, s^i (p') {s_i (p')}^1, s^i (p') {s_i (p')}^2, ..., s^i (p') {s_i (p')}^{d'})\)、そして、\(s^i (p')\)および\({s_i (p')}^j\)は\(C^\infty\)であるから、当該コンポーネントたちは\(p'^1, p'^2, ..., p'^d\)に関して\(C^\infty\)である、それが意味するのは、\(s\)は\(C^\infty\)である。
\(s\)は\(C^\infty\)であると仮定しよう。\(p' \in U'_p\)を任意のポイントとしよう。\(\phi' (\pi^{-1} (U'_p)) = U'_p \times \mathbb{R}^{d'}\)上の自然な\(C^\infty\)フレーム\(e'_1, e'_2, ..., e'_{d'}\)に対して、インデュースト（誘導された）\(C^\infty\)フレーム\(e_i (p') := \phi'^{-1} (p', e'_i)\)がある、それは実際に\(C^\infty\)である、なぜなら、\(e_i (p')\)のコーディネート（座標）たちは\((p'^1, p'^2, ..., p'^d, 0, 0, ..., 1, ..., 0)\)、ここで、\(1\)は\(\mathbb{R}^{d'}\)内の\(i\)番目コンポーネント、である。\(s = s'^i e_i\)。\(s (p')\)のコーディネート（座標）たちは\(\phi'' (s (p')) = \phi'' (s'^i (p') e_i (p')) = (\phi, id) \circ \phi' (s'^i (p') e_i (p')) = (\phi, id) (s'^i (p') \phi' (e_i (p'))) = (\phi, id) (s'^i (p') e'_i (p')) = (p'^1, p'^2, ..., p'^d, s'^1 (p'), s'^2 (p'), ..., s'^{d'} (p'))\)である。\(s\)が\(C^\infty\)であるというのは、当該コーディネート（座標）たちが\(p'^1, p'^2, ..., p'^d\)のファンクション（関数）たちとして\(C^\infty\)であることに他ならない、したがって、\(s'^i\)は\(C^\infty\)である。
\(s_i = s'^j_i e_j\)、ここで、\(s'^j_i\)は\(C^\infty\)、前パラグラフによって。\(s = s^i s_i = s^i s'^j_i e_j\)、したがって、\(s'^i = s^j s'^i_j\)。マトリックス（行列）\(S' (p') = [s'^i_j (p')]\)は2つのベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちトランスフォーメイション（変換）のマトリックス（行列）であり、インバーティブル（可逆）である。\(S'\)のコンポーネントたちは\(p'\)に関して\(C^\infty\)であるから、\(S'^{-1}\)のコンポーネントたちは\(p'\)に関して\(C^\infty\)である。\(s^i\)は\(S'^{-1}\)のコンポーネントたちと\(s'^{i}\)のマルチプリケーション（積）たちのアディション（加算）であるから、それは\(C^\infty\)である。
3: 注
"記述"内の"任意の\(C^\infty\)フレームに関する"が意味するのは、もしも、コエフィシェント（係数）たちが任意の1つのそうしたフレームに関してそうである場合（全てのそうしたフレームに対してチェックする必要はない）、当該のセクション（断面）は\(C^\infty\)であり、もしも、当該セクション（断面）が\(C^\infty\)である場合、当該コエフィシェント（係数）たちは任意のそうしたフレームに関して（したがって、全てのフレームに関して）そうである。
当該トリビアライジングオープンセット（開集合）は、そこの上方にある\(C^\infty\)フレームがあれば任意のオープンセット（開集合）でよいように思われるかもしれないが、実のところ、そうした任意のオープンサブセット（開部分集合）は結局のところトリビアライジングオープンセット（開集合）でなければならない、何らかの\(C^\infty\)フレームを持つためには、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、当該ベーススペース（空間）上の任意のオープンセット（開集合）上方にある\(C^\infty\)フレームがある、もしも、当該オープンサブセット（開部分集合）がトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
