410: C∞ベクトルたちバンドル（束）に対して、トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方のセクション（断面）はC∞である、もしも、そこ上方のC∞フレームに関する係数たちがC∞である場合、そしてその場合に限って

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$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方のセクション（断面）は$C^{\mathrm{\infty }}$である、もしも、そこ上方の$C^{\mathrm{\infty }}$フレームに関する係数たちが$C^{\mathrm{\infty }}$である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、ランク$k$の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
• 読者は、リストリクテッド（制限された）$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
• 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）のセクション（断面）の定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）上のローカル$C^{\mathrm{\infty }}$フレームの定義を知っている。
• 読者は、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、あるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の各ポイントにおいてより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があるという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方の任意のセクション（断面）は$C^{\mathrm{\infty }}$である、もしも、そこ上方の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$フレームに関する係数たちが$C^{\mathrm{\infty }}$である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$(E,M,\pi )$: $\in \{\text{ ランク }k\text{ の全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ ベクトルたちバンドル（束）たち }\}$
$U$: $\in \{M\text{ の全てのトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たち }\}$
$s$: $:U\to {\pi }^{-1}(U)$, $\in \{\pi {|}_{{\pi }^{-1}(U)}\text{ の全てのセクション（断面）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
(
$s\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マップ（写像）たち }\}$
$⟹$
$\mathrm{\forall }\{s_1,s_2,...,s_k\}\in \{{\pi }^{-1}(U)\text{ 上の全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ フレームたち }\}(s=s^j{s}_j\text{ 、ここで、 }{s}^j:U\to \mathbb{R}\wedge s^j\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マップ（写像）たち }\})$
)
$\wedge$
(
$\mathrm{\exists }\{s_1,s_2,...,s_k\}\in \{{\pi }^{-1}(U)\text{ 上の全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ フレームたち }\}(s=s^j{s}_j\text{ 、ここで、 }{s}^j:U\to \mathbb{R}\wedge s^j\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マップ（写像）たち }\})$
$⟹$
$s\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マップ（写像）たち }\}$
)
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: 各ポイント$p\in U$の周りに、以下を満たすあるチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）$U_p^{\prime }\subseteq M$、つまり、$U_p^{\prime }\subseteq U$、およびインデュースト（誘導された）チャート$({\pi }^{-1}(U_p^{\prime })\subseteq E,\tilde{\varphi })$を取る; ステップ2: $s^j$は$C^{\mathrm{\infty }}$であると仮定し、$s$は$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見る、$s$の、当該チャートたちに関するコンポーネントたちは$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見ることによって; ステップ3: $s$は$C^{\mathrm{\infty }}$であると仮定し、$s^j$は$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見る、スタンダードフレームおよび$s$のスタンダードフレームに関するコンポーネントたちを取り、$s^j$たちを当該コンポーネントたちの$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）たちとして見ることによって。

ステップ1:

$s$または$s^j$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、もしも、それが各ポイント$p\in U$において$C^{\mathrm{\infty }}$である場合、そしてその場合に限って。したがって、$p$における$C^{\mathrm{\infty }}$性を見よう。

任意のマップ（写像）のポイントにおける$C^{\mathrm{\infty }}$性は、常に、当該ポイントの周りのあるドメイン（定義域）チャートおよび当該ポイントのイメージ（像）の周りのあるコドメイン（余域）チャートに関して判断される、したがって、そういうチャートたちを取ろう。

$p\in U$の周りに、以下を満たすあるチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）$U_p^{\prime }\subseteq M$、つまり、$U_p^{\prime }\subseteq U$、インデュースト（誘導された）チャート$({\pi }^{-1}(U_p^{\prime })\subseteq E,\tilde{\varphi })$がある、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、あるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の各ポイントにおいてより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があるという命題および任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題によって。$\varphi$を$U_p^{\prime }$上のチャートマップ（写像）とし、$\mathrm{\Phi }$をトリビアライゼーションとしよう。

ステップ2:

$s^j$は$C^{\mathrm{\infty }}$であると仮定しよう。

$s$は$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見よう。

$s$の当該チャートたちに関するコンポーネントたちは$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見よう。

$p^{\prime }\in U_p^{\prime }$は任意のポイントであるとしよう。

$s_j(p^{\prime })$のコーディネート（座標）たちは$\tilde{\varphi }(s_j(p^{\prime }))=({s_j(p^{\prime })}^1,...,{s_j(p^{\prime })}^k,p^{\prime 1},...,p^{\prime d})$であり、$s_j$は$C^{\mathrm{\infty }}$セクション（断面）であるから、${s_j(p^{\prime })}^k$は$(p^{\prime 1},...,p^{\prime d})$に関して$C^{\mathrm{\infty }}$である。

$s(p^{\prime })$のコーディネート（座標）たちは$\tilde{\varphi }(s(p^{\prime }))=\lambda \circ (\varphi ,id)\circ \mathrm{\Phi }(s(p^{\prime }))$、ここで、$\lambda :{\mathbb{R}}^{d+k}\to {\mathbb{R}}^{d+k},(x^1,...,x^d,x^{d+1},...,x^{d+k})\mapsto (x^{d+1},...,x^{d+k},x^1,...,x^d)$、$=\lambda \circ (\varphi ,id)\circ \mathrm{\Phi }(s^j(p^{\prime })s_j(p^{\prime }))=\lambda \circ (\varphi ,id)(s^j(p^{\prime })\mathrm{\Phi }(s_j(p^{\prime })))$、なぜなら、任意のトリビアライゼーションは各ファイバーにおいて'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、$=(s^j(p^{\prime }){s_j(p^{\prime })}^1,...,s^j(p^{\prime }){s_j(p^{\prime })}^k,p^{\prime 1},p^{\prime 2},...,p^{\prime d})$、そして、$s^j(p^{\prime })$および${s_j(p^{\prime })}^j$は$C^{\mathrm{\infty }}$であるから、当該コンポーネントたちは$p^{\prime 1},p^{\prime 2},...,p^{\prime d}$に関して$C^{\mathrm{\infty }}$である、それが意味するのは、$s$は$C^{\mathrm{\infty }}$であるということ。

ステップ3:

$s$は$C^{\mathrm{\infty }}$であると仮定しよう。

$p^{\prime }\in U_p^{\prime }$は任意のポイントであるとしよう。

$\mathrm{\Phi }({\pi }^{-1}(U_p^{\prime }))=U_p^{\prime }\times {\mathbb{R}}^k$上にカノニカル（正典）フレーム$e_1^{\prime },...,e_k^{\prime }$がある、それが意味するのは、$e_j^{\prime }:U_p^{\prime }\to U_p^{\prime }\times {\mathbb{R}}^k,p^{\prime }\to (p^{\prime },0,...,0,1,0,...,0)$、ここで、$1$は${\mathbb{R}}^k$のj-番目コンポーネント。

${\pi }^{-1}(U_p^{\prime })$上にインデュースト（誘導された）$C^{\mathrm{\infty }}$フレーム$(e_1,...,e_k)$、ここで、$e_j(p^{\prime }):={\mathrm{\Phi }}^{-1}(e_j^{\prime }(p^{\prime }))$、がある、それは本当に$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、$e_j(p^{\prime })$のコーディネート（座標）たちは$(0,0,...,1,...,0,p^{\prime 1},p^{\prime 2},...,p^{\prime d})$、ここで、$1$は${\mathbb{R}}^k$内の$j$-番目コンポーネント、であり、本当にフレームである、なぜなら、${\mathrm{\Phi }}^{-1}$は各ファイバーにおいて'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

$s=s^{\prime j}{e}_j$としよう。$s(p^{\prime })$のコーディネート（座標）たちは$\tilde{\varphi }(s(p^{\prime }))=\tilde{\varphi }(s^{\prime j}(p^{\prime })e_j(p^{\prime }))=\lambda \circ (\varphi ,id)\circ \mathrm{\Phi }(s^{\prime j}(p^{\prime })e_j(p^{\prime }))=\lambda \circ (\varphi ,id)(s^{\prime j}(p^{\prime })\mathrm{\Phi }(e_j(p^{\prime })))=\lambda \circ (\varphi ,id)(s^{\prime j}(p^{\prime })e_j^{\prime }(p^{\prime }))=(s^{\prime 1}(p^{\prime }),...,s^{\prime k}(p^{\prime }),p^{\prime 1},p^{\prime 2},...,p^{\prime d})$である。$s$が$C^{\mathrm{\infty }}$であるというのは、当該コーディネート（座標）たちは、$p^{\prime 1},...,p^{\prime d}$のファンクション（関数）たちとして$C^{\mathrm{\infty }}$であることに他ならない、したがって、$s^{\prime j}$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。

$s_j=s_j^{\prime l}{e}_l$であるとしよう。$s_j^{\prime l}$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、前パラグラフによって。$s=s^j{s}_j=s^j{s}_j^{\prime l}{e}_l$、したがって、$s^{\prime j}=s^l{s}_l^{\prime j}$。マトリックス（行列）$S^{\prime }(p^{\prime })=[s_l^{\prime j}(p^{\prime })]$は当該2ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちトランスフォーメーション（変換）のマトリックス（行列）であり、インバーティブル（可逆）である。$S^{\prime }$のコンポーネントたちは$p^{\prime }$に関して$C^{\mathrm{\infty }}$であるから、$S^{\prime -1}$のコンポーネントたちは$p^{\prime }$に関して$C^{\mathrm{\infty }}$である: ラプラス展開を使ってインバースマトリックス（逆行列）を得る。$s^j$は$S^{\prime -1}$のコンポーネントたちおよび$s^{\prime l}$の何らかのマルチプリケーション（積）たちの和であるから、それは$C^{\mathrm{\infty }}$である。

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3: 注

本命題が言っているのは、もしも、$s$の係数たちが任意の1つの$C^{\mathrm{\infty }}$に関して$C^{\mathrm{\infty }}$であれば（そうした全てのフレームに対してチェックする必要はない）、当該セクション（断面）は$C^{\mathrm{\infty }}$であり、もしも、当該セクション（断面）$C^{\mathrm{\infty }}$であれば、係数たちは任意の$C^{\mathrm{\infty }}$フレーム（断面）に関して（したがって、全ての$C^{\mathrm{\infty }}$フレームに関して）$C^{\mathrm{\infty }}$である、ということ。

当該トリビアライジングオープンセット（開集合）は、もしもある$C^{\mathrm{\infty }}$フレームがそこにあれば任意のオープンセット（開集合）でよいように思われるかもしれないが、実のところ、そうした任意のオープンサブセット（開部分集合）は結局のところあるトリビアライジングオープンセット（開集合）でなければならない、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$フレームを持つためには、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$フレームは任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方に、そしてその上方のみに存在するという命題によって。

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参考資料

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