トポロジカルスペース（空間）たち間コンティニュアス（連続）インジェクション（単射）に対して、サブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）のイメージ（像）はサブセット（部分集合）のイメージ（像）のバウンダリー（境界）内に包含されていることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のコンティニュアス（連続）インジェクション（単射）に対して、任意のサブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）のイメージ（像）は当該サブセット（部分集合）のイメージ（像）のバウンダリー（境界）内に包含されているという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）インジェクション（単射）たち }\}\)
\(S_1\): \(\subseteq T_1\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f (Bou (S_1)) \subseteq Bou (f (S_1))\)、ここで、\(Bou (\bullet)\)はバウンダリー（境界）を表わす
//
2: 注
\(f\)がインジェクティブ（単射）でない時は、\(f (Bou (S_1)) \subseteq Bou (f (S_1))\)は必ずしも成立しない。
例えば、\(T_1 = T_2 = \mathbb{R}\)、\(S_1 = (\pi / 4, \pi)\)、\(f = sin\)とすると、\(Bou (S_1) = \{\pi / 4, \pi\}\)、\(f (S_1) = (0, 1]\)、\(Bou (f (S_1)) = \{0, 1\}\)、\(f (\pi / 4) \notin Bou (f (S_1))\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f (\overline{S_1}) \subseteq \overline{f (S_1)}\)および\(f (\overline{T_1 \setminus S_1}) \subseteq \overline{T_2 \setminus f (S_1)}\)であることを見る; ステップ2: 各\(p \in Bou (S_1)\)に対して、\(f (p) \in Bou (f (S_1))\)であることを見る。
ステップ1:
\(Bou (S_1) = \overline{S_1} \cap \overline{T_1 \setminus S_1}\)および\(Bou (f (S_1)) = \overline{f (S_1)} \cap \overline{T_2 \setminus f (S_1)}\)、定義によって。
\(f (\overline{S_1}) \subseteq \overline{f (S_1)}\)、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のイメージ（像）は当該サブセット（部分集合）のイメージ（像）のクロージャー（閉包）内に包含されているという命題によって。
\(f (\overline{T_1 \setminus S_1}) \subseteq \overline{f (T_1 \setminus S_1)}\)、同様に。
しかし、\(f (T_1 \setminus S_1) \subseteq T_2 \setminus f (S_1)\)、なぜなら、各\(p \in T_1 \setminus S_1\)に対して、\(f (p) \notin f (S_1)\)、なぜなら、\(f\)はインジェクティブ（単射）である、したがって、\(f (p) \in T_2 \setminus f (S_1)\)。
したがって、\(\overline{f (T_1 \setminus S_1)} \subseteq \overline{T_2 \setminus f (S_1)}\)。
したがって、\(f (\overline{T_1 \setminus S_1}) \subseteq \overline{f (T_1 \setminus S_1)} \subseteq \overline{T_2 \setminus f (S_1)}\)。
ステップ2:
\(p \in Bou (S_1)\)を任意のものとする。
\(p \in \overline{S_1}\)であるから、\(f (p) \in \overline{f (S_1)}\)、ステップ1によって。
As \(p \in \overline{T_1 \setminus S_1}\), \(f (p) \in \overline{T_2 \setminus f (S_1)}\), by Step 1. \(p \in \overline{T_1 \setminus S_1}\)であるから、\(f (p) \in \overline{T_2 \setminus f (S_1)}\)、ステップ1によって。
したがって、\(f (p) \in \overline{f (S_1)} \cap \overline{T_2 \setminus f (S_1)} = Bou (f (S_1))\)。
