ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）に対して、マップ（写像）のランク（階層）はベーシス（基底）たちに関するリプレゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）のランク（階数）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）のランク（階数）の定義を知っている。
- 読者は、リング（環）上方のマトリックス（行列）のランク（階数）の定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）および任意のベーシス（基底）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）は当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）または任意のベーシス（基底）のイメージ（像）は、当該コドメイン（余域）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちモジュール（加群）および任意のリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）の任意のより大きな-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちモジュール（加群）の中への拡大はリニアにインディペンデント（線形独立）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちベクトルたちスペース（空間）および任意のリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）はある要素数-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちベクトルたちスペース（空間）の中へ縮小できる、何らかのコンポーネントたちを選ぶことによって、という命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のファイナイト（有限）ジェネレイター（作成元たち）は縮小してあるベーシス（基底）にできるという命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、全てのベーシス（基底）たちは同一カーディナリティを持つという命題を認めている。
- 読者は、任意のフィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）は非ゼロである、もしも、当該列たちまたは当該行たちのセット（集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間任意のリニアマップ（線形写像）に対して、当該マップ（写像）のランク（階層）は任意のベーシス（基底）たちに関するリプレゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）のランク（階数）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } d_1 \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } d_2 \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
\(B_1\): \(\in \{V_1 \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\(B_2\): \(\in \{V_2 \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\(M\): \(= f \text{ に対する } \)\(B_1\)および\(B_2\)に関する \(\text{ レプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(Rank (f) = Rank (M)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V_2\)はコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることを見、\(f\)のランク（階数）は\(M\)によるリニアマップ（線形写像）のランク（階数）である; ステップ2: \(Rank (M) = d\)および左上\(d \times d\)サブマトリックス（部分行列）はデターミナント非ゼロであると仮定する; ステップ3: \(Rank (f) = d\)であることを見る; ステップ4: \(Rank (f) = d\)である時、\(Rank (M) = d\)であることを見る。
ステップ1:
\(V_2\)はコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）および任意のベーシス（基底）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）は当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題によって。
それが意味するのは、\(V_2\)の任意のサブスペース（部分空間）はコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）の対応するサブスペース（部分空間）と同一ディメンション（次元）を持つ、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）または任意のベーシス（基底）のイメージ（像）は、当該コドメイン（余域）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）であるという命題によって: any basis of the subspace of \(V_2\)の当該サブスペース（部分空間）の任意のベーシス（基底）はコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）の対応するサブスペース（部分空間）のあるベーシス（基底）にマップされる: 'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の当該リストリクション（制限）は明らかに'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
したがって、\(Rank (f)\)は\(M\)によるコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）たちリニアマップ（線形写像）のレンジ（値域）のディメンション（次元）である。
ステップ2:
\(Rank (M) = d\)であると仮定しよう。
左上\(d \times d\)サブマトリックス（部分行列）\(N\)をデターミナント（行列式）非ゼロとしよう、それは可能である、\(B_1\)および\(B_2\)を並び替えることによって。
ステップ3:
\(d\)-ディメンショナル（次元）列ベクトルたちのセット（集合）\(\{(1, 0, ..., 0)^t, ..., (0, ..., 0, 1)^t\}\)を取ろう、それは、明らかにリニアにインディペンデント（線形独立）である。
\(\{N (1, 0, ..., 0)^t, ..., N (0, ..., 0, 1)^t\}\)、それは\(d\)-ディメンショナル（次元）列ベクトルたちのセット（集合）である、は、リニアにインディペンデント（線形独立）である、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）または任意のベーシス（基底）のイメージ（像）は、当該コドメイン（余域）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）であるという命題によって: the linear map by \(N\)によるリニアマップ（線形写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、なぜなら、\(det N \neq 0\)。
\(\{(1, 0, ..., 0)^t, ..., (0, ..., 0, 1)^t\}\)の\(d_1\)-ディメンショナル（次元）拡張\(\{(1, 0, ..., 0, 0, ..., 0)^t, ..., (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)^t\}\)および\(\{M (1, 0, ..., 0, 0, ..., 0)^t, ..., M (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)^t\}\)のことを考えよう
\(\{M (1, 0, ..., 0, 0, ..., 0)^t, ..., M (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)^t\}\)は、\(\{N (1, 0, ..., 0)^t, ..., N (0, ..., 0, 1)^t\}\)のある\(d_2\)-ディメンショナル（次元）拡張である、なぜなら、始めの\(d\)コンポーネントたちは変わっていない、したがって、リニアにインディペンデント（線形独立）である、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちモジュール（加群）および任意のリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）の任意のより大きな-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちモジュール（加群）の中への拡大はリニアにインディペンデント（線形独立）であるという命題によって。
したがって、\(M\)によるマップ（写像）のレンジ（値域）は\(d\)-ディメンショナル（次元）に等しいかより大きい。
当該レンジ（値域）は\(d'\)-ディメンショナル（次元）であった、ここで、\(d \lt d'\)、と仮定しよう。
当該レンジ（値域）に対するあるベーシス（基底）があることになり、何らかの\(d'\)個コンポーネントたちを選んで、縮小されたベーシス（基底）がリニアにインディペンデント（線形独立）であり続けるようにできることになる、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちベクトルたちスペース（空間）および任意のリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）はある要素数-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちベクトルたちスペース（空間）の中へ縮小できる、何らかのコンポーネントたちを選ぶことによって、という命題によって。
選ばれた\(d'\)個コンポーネントたちを最上位\(d'\)個行たちへ移動しよう、\(B_2\)を並び替えることによって、これ以降、その結果を\(M\)と呼ぶ。
それが意味するのは、当該縮小されたレンジ（値域）（初めの\(d'\)個コンポーネントたちへのプロジェクション（射影））は\(d'\)-ディメンショナル（次元）であるということ。
\(M'\)を\(M\)の最上位\(d' \times d_1\)サブマトリックス（部分行列）としよう。
\(\{M' \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix}, ..., M' \begin{pmatrix} 0 \\ ... \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\}\)は、当該縮小されたレンジ（値域）をスパン（張る）することになる、明らかに。
しかし、それは、\(M'\)の列たちに他ならない。
したがって、\(M'\)の何らかの\(d'\)列たちを選んで、当該縮小されたレンジ（値域）に対するあるベーシス（基底）であるようにできる、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のファイナイト（有限）ジェネレイター（作成元たち）は縮小してあるベーシス（基底）にできるという命題および任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、全てのベーシス（基底）たちは同一カーディナリティを持つという命題によって。
\(M\)の対応する\(d'\)個列たちを左へ移動しよう、\(B_1\)を並び替えることによって、これ以降、その結果を\(M\)と呼ぶ。
すると、当該左上\(d' \times d'\)サブマトリックス（部分行列）はデターミナント（行列式）非ゼロだということになる、任意のフィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）は非ゼロである、もしも、当該列たちまたは当該行たちのセット（集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、したがって、\(d \lt d' \le Rank (M)\)、矛盾。
したがって、当該レンジ（値域）は\(d\)-ディメンショナル（次元）である。
したがって、\(M\)によるリニアマップ（線形写像）のランク（階数）は\(d\)である、したがって、\(Rank (f) = d\)。
ステップ4:
\(Rank (f) = d\)であると仮定しよう。
もしも、\(Rank (M) = d'\)であれば、\(Rank (f) = d'\)、ステップ3によって、したがって、\(d = d'\)。
