ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）、リニアマップ（線形写像）のドメイン（定義域）の上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）、リニアマップ（線形写像）のコドメイン（余域）のスーパースペース（超空間）からの'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、リニアマップ（線形写像）を第1アイソモーフィズム（同形写像）の後に行ない第2アイソモーフィズム（同形写像）の前に行なうコンポジションはリニアマップ（線形写像）のランク（階数）を持つことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）のランク（階数）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間任意のリニアマップ（線形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のベクトルたちサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、その、任意のサブスペース（部分空間）ドメイン（定義域）および対応するレンジ（値域）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）または任意のベーシス（基底）のイメージ（像）は、当該コドメイン（余域）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間任意のリニアマップ（線形写像）、当該リニアマップ（線形写像）のドメイン（定義域）の上への任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）、当該リニアマップ（線形写像）のコドメイン（余域）の任意のスーパースペース（超空間）からの任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、当該リニアマップ（線形写像）を第1アイソモーフィズム（同形写像）の後に行ない第2アイソモーフィズム（同形写像）の前に行なうコンポジションは当該リニアマップ（線形写像）のランク（階数）を持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(f_1\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
\(V_0\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(f_0\): \(: V_0 \to V_1\), \(\in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
\(V'_2\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(V_2 \in \{V'_2 \text{ の全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(V_3\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(f_2\): \(: V'_2 \to V_3\), \(\in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(Rank (f_2 \circ f_1 \circ f_0) = Rank (f_1)\)
//
2: 注
\(f_0\)のコドメイン（余域）は\(V_1\)で\(V_1\)のベクトルたちスペース（空間）ストラクチャー（構造）を持ち、\(V_2\)は\(V'_2\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）（単なるサブセット（部分集合）ではなく）である、それらが重要ポイントたちである。
何らかのベクトルたちスペース（空間）間のあるリニアマップ（線形写像）およびある'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、当該リニアマップ（線形写像）を当該アイソモーフィズム（同形写像）の後に行なうコンポジション（合成）は必ずしも当該リニアマップ（線形写像）のランク（階数）を持たないという命題を参照のこと。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f_2 \circ f_1 \circ f_0\)はリニア（線形）であることを見る; ステップ2: \(Ran (f_1 \circ f_0) = Ran (f_1)\)であることを見る; ステップ3: \(f_2 \vert_{Ran (f_1)}: Ran (f_1) \to f_2 (Ran (f_1))\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることを見、\(f_2 \circ f_1 \circ f_0 = f_2 \vert_{Ran (f_1)} \circ f_1 \circ f_0\)であることを見、\(Dim (Ran (f_2 \circ f_1 \circ f_0)) = Dim (Ran (f_1 \circ f_0))\)であることを見る。
ステップ1:
\(f_2 \circ f_1 \circ f_0\)はリニア（線形）である、それはなぜなら、\(f_0\)のコドメイン（余域）は\(f_1\)のドメイン（定義域）である（もっと一般的には、\(f_1\)のドメイン（定義域）のベクトルたちサブスペース（部分空間）である）、そして、\(f_1\)のコドメイン（余域）は\(f_2\)のドメイン（定義域）のベクトルたちサブスペース（部分空間）である: 単に、セット（集合）たち的に\(V_1 \subseteq V_1\)および\(V_2 \subseteq V'_2\)であることは、リニア（線形）性を保証しない。
リニア（線形）性をチェックする必要がある、なぜなら、そうでなければ、\(Rank (f_2 \circ f_1 \circ f_0)\)は定義されていないことになる。
ステップ2:
\(Ran (f_1 \circ f_0) = Ran (f_1)\)であることを見よう。
各\(v \in Ran (f_1 \circ f_0)\)に対して、\(v = f_1 (f_0 (v_0))\)、ある\(v_0 \in V_0\)に対して、しかし、\(v_1 := f_0 (v_0) \in V_1\)および\(v = f_1 (v_1) \in Ran (f_1)\)。
各\(v \in Ran (f_1)\)に対して、\(v = f_1 (v_1)\)、ある\(v_1 \in V_1\)に対して、しかし、\(f_0\)はサージェクティブ（全単射）であるから、以下を満たすある\(v_0 \in V_0\)、つまり、\(v_1 = f_0 (v_0)\)、がある、したがって、\(v = f_1 (v_1) = f_1 (f_0 (v_0)) \in Ran (f_1 \circ f_0)\)。
それが含意するのは、\(Rank (f_1 \circ f_0) = Dim (Ran (f_1 \circ f_0)) = Dim (Ran (f_1)) = Rank (f_1)\)。
ステップ3:
\(Ran (f_1)\)は\(V_2\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）である、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間任意のリニアマップ（線形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のベクトルたちサブスペース（部分空間）であるという命題によって。
\(Ran (f_1)\)は\(V'_2\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）である、なぜなら、\(V_2\)は\(V'_2\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）である。
\(f_2 \vert_{Ran (f_1)}: Ran (f_1) \to f_2 (Ran (f_1))\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、その、任意のサブスペース（部分空間）ドメイン（定義域）および対応するレンジ（値域）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
\(f_2 \circ f_1 \circ f_0 = f_2 \vert_{Ran (f_1)} \circ f_1 \circ f_0\)。
したがって、\(Dim (Ran (f_2 \circ f_1 \circ f_0)) = Dim (Ran (f_2 \vert_{Ran (f_1)} \circ f_1 \circ f_0))\)。
しかし、\(Ran (f_1 \circ f_0) = Ran (f_1)\)であるから、\(Ran (f_2 \vert_{Ran (f_1)} \circ f_1 \circ f_0) = Ran (f_2 \vert_{Ran (f_1)})\)、したがって、\(Dim (Ran (f_2 \vert_{Ran (f_1)} \circ f_1 \circ f_0)) = Dim (Ran (f_2 \vert_{Ran (f_1)}))\)、しかし、\(Dim (Ran (f_2 \vert_{Ran (f_1)})) = Dim (Ran (f_1))\)、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）または任意のベーシス（基底）のイメージ（像）は、当該コドメイン（余域）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）であるという命題によって、したがって、\(Rank (f_2 \circ f_1 \circ f_0) = Dim (Ran (f_2 \circ f_1 \circ f_0)) = Dim (Ran (f_2 \vert_{Ran (f_1)} \circ f_1 \circ f_0)) = Dim (Ran (f_1)) = Rank (f_1)\)。
