ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものおよびオープンサブセット（開部分集合）に対して、オープンサブセット（開部分集合）のサブセット（部分集合）で各要素はそのインバース（逆）をオープンサブセット（開部分集合）内に持つというものはオープンサブセット（開部分集合）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（正典）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものおよび任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、当該オープンサブセット（開部分集合）のサブセット（部分集合）で各要素はそのインバース（逆）をオープンサブセット（開部分集合）内に持つというものはオープンサブセット（開部分集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、カノニカル（正典）トポロジーを持つもの
\(U\): \(\in \{V \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
\(S\): \(= \{v \in U \vert - v \in U\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{V \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
//
2: 注
不可避に、各\(v \in S\)に対して、\(- v \in S\)、なぜなら、\(- (- v) = v \in U\)。
\(S\)は空かもしれない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: カノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）\(f: V \to \mathbb{R}^d \text{ or } \mathbb{R}^{2 d}\)を取り、\(f\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることを見る; ステップ2: 各\(v \in S\)に対して、\(v\)の周りのあるオープンボール（開球）\(B_{v, \epsilon}\)および\(-v\)の周りのあるオープンボール（開球）\(B_{- v, \epsilon}\)で\(U\)内に包含されているものたちを取り、\(B_{v, \epsilon} \subseteq S\)であることを見る。
ステップ1:
任意のベーシス（基底）\(B = \{b_1, ..., b_d\}\)に関するカノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）\(f': V \to F^d\)がある、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義またはファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（正典）トポロジーの定義によって。
\(F = \mathbb{R}\)である時は、\(f = f': V \to \mathbb{R}^d\)を取ろう。
\(F = \mathbb{C}\)である時は、カノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）\(f'': F^d \to \mathbb{R}^{2 d}\)があり、\(f = f'' \circ f': V \to \mathbb{R}^{2 d}\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
\(f\)は'リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち - リアル（実）リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることを見よう。
\(f\)はリアル（実）リニア（線形）であることを見よう。
\(F = \mathbb{R}\)である時は、各\(v, v' \in V\)および各\(r, r' \in \mathbb{R}\)に対して、\(f (r v + r' v') = f (r v^j b_j + r' v'^j b_j) = f ((r v^j + r' v'^j) b_j) = (r v^1 + r' v'^1, ..., r v^d + r' v'^d) = r (v^1, ..., v^d) + r' (v'^1, ..., v'^d) = r f (v) + r' f (v')\)。
\(F = \mathbb{C}\)である時は、各\(v, v' \in V\)および各\(r, r' \in \mathbb{R}\)に対して、\(f (r v + r' v') = f (r v^j b_j + r' v'^j b_j) = f ((r v^j + r' v'^j) b_j) = f'' (r v^1 + r' v'^1, ..., r v^d + r' v'^d) = f'' (r Re (v^1) + r' Re (v'^1) + (r Im (v^1) + r' Im (v'^1)) i, ..., r Re (v^d) + r' Re (v'^d) + (r Im (v^d) + r' Im (v'^d)) i) = (r Re (v^1) + r' Re (v'^1), r Im (v^1) + r' Im (v'^1), ..., r Re (v^d) + r' Re (v'^d), r Im (v^d) + r' Im (v'^d)) = r (Re (v^1), Im (v^1), ..., Re (v^d), Im (v^d)) + r' (Re (v'^1), Im (v'^1), ..., Re (v'^d), Im (v'^d)) = r f'' (v^1, ..., v^d) + r' f'' (v'^1, ..., v'^d) = r f (v) + r' f (v')\)。
\(f\)はバイジェクティブ（全単射）である。
したがって、\(f\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
ステップ2:
\(v \in S\)を任意のものとしよう。
私たちが、\(v\)の周りのオープンボール（開球）\(B_{v, \epsilon} \subseteq V\)について話す時、それが意味するのは、\(f^{-1} (B_{f (v), \epsilon})\)、ここで、\(B_{f (v), \epsilon} \subseteq \mathbb{R}^{d} \text{ or } \mathbb{R}^{2 d}\)は\(f (v)\)の周りのオープンボール（開球）、である。
\(v \in U\)および\(U\)はオープン（開）であるから、\(v\)周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{v, \epsilon'} \subseteq V\)、つまり、\(B_{v, \epsilon'} \subseteq U\)がある: \(f (U) \subseteq \mathbb{R}^d \text{ or } \mathbb{R}^{2 d}\)はオープン（開）である、\(f (v)\)の周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{f (v), \epsilon'} \subseteq \mathbb{R}^d \text{ または } \mathbb{R}^{2 d}\)、つまり、\(B_{f (v), \epsilon'} \subseteq f (U)\)、がある、そして、\(B_{v, \epsilon'} = f^{-1} (B_{f (v), \epsilon'}) \subseteq U\)。
\(- v \in U\)で\(U\)はオープン（開）であるから、\(- v\)の周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{- v, \epsilon''} \subseteq V\)、つまり、\(B_{- v, \epsilon''} \subseteq U\)、がある: \(f (U) \subseteq \mathbb{R}^d \text{ or } \mathbb{R}^{2 d}\)はオープン（開）である、\(f (- v)\)の周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{f (- v), \epsilon''} \subseteq \mathbb{R}^d \text{ or } \mathbb{R}^{2 d}\)、つまり、\(B_{f (- v), \epsilon''} \subseteq f (U)\)、がある、そして、\(B_{- v, \epsilon''} = f^{-1} (B_{f (- v), \epsilon''}) \subseteq U\)。
\(\epsilon := min (\epsilon', \epsilon'')\)としよう。
すると、\(B_{v, \epsilon} \subseteq U\)および\(B_{- v, \epsilon} \subseteq U\)。
\(B_{v, \epsilon} \subseteq S\)であることを見よう。
\(- B_{v, \epsilon} = B_{- v, \epsilon}\)であることを見よう。
各\(v' \in - B_{v, \epsilon}\)に対して、\(v' = - v''\)、ある\(v'' \in B_{v, \epsilon}\)に対して、したがって、\(\Vert f (v'') - f (v) \Vert \lt \epsilon\)、しかし、\(\Vert f (v'') - f (v) \Vert = \Vert - f (v'') + f (v) \Vert = \Vert f (- v'') - f (- v) \Vert\)、なぜなら、\(f\)はリニア（線形）である、\(= \Vert f (v') - f (- v) \Vert \lt \epsilon\)、それが意味するのは、\(v' \in B_{- v, \epsilon}\)。
したがって、\(- B_{v, \epsilon} \subseteq B_{- v, \epsilon}\)。
各\(v' \in B_{- v, \epsilon}\)に対して、\(\Vert f (v') - f (- v) \Vert \lt \epsilon\)、しかし、\(\Vert f (v') - f (- v) \Vert = \Vert - f (v') + f (- v) \Vert = \Vert f (- v') - f (v) \Vert\)、なぜなら、\(f\)はリニア（線形）である、\(\lt \epsilon\)、それが意味するのは、\(- v' \in B_{v, \epsilon}\)、それが意味するのは、\(v' = - (- v') \in - B_{v, \epsilon}\)。
したがって、\(B_{- v, \epsilon} \subseteq - B_{v, \epsilon}\)。
したがって、\(- B_{v, \epsilon} = B_{- v, \epsilon}\)。
したがって、各\(v \in B_{v, \epsilon} \subseteq U\)に対して、\(- v \in - B_{v, \epsilon} = B_{- v, \epsilon} \subseteq U\)、それが意味するのは、\(v \in S\)。
したがって、\(B_{v, \epsilon} \subseteq S\)。
\(B_{v, \epsilon} = f^{-1} (B_{f (v), \epsilon})\)は\(V\)上でオープン（開）であるから、\(S\)はオープン（開）である、オープン（開）であることのローカル基準によって。
