ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）たちでカノニカル（正典）トポロジーたちを持つものたち間リニアインジェクション（線形単射）に対して、そのコドメイン（余域）リストリクション（制限）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（正典）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、インジェクション（単射）の定義を知っている。
- 読者は、ホメオモーフィズム（位相同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間任意のリニアマップ（線形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のベクトルたちサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）たちでカノニカル（正典）トポロジーたちを持つものたち間任意のリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものに対して、任意のベクトルたちサブスペース（部分空間）のカノニカル（正典）トポロジーはサブスペース（部分空間）トポロジーであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）たちでカノニカル（正典）トポロジーたちを持つものたち間任意のリニアインジェクション（線形単射）に対して、そのコドメイン（余域）リストリクション（制限）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(d_1\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(d_2\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } d_1 \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、カノニカル（正典）トポロジーを持つもの
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } d_2 \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、カノニカル（正典）トポロジーを持つもの
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニアインジェクション（線形単射）たち }\}\)
\(f'\): \(: V_1 \to f (V_1) \subseteq V_2\)、\(f\)のリストリクション（制限）として
//
ステートメント（言明）たち:
\(f' \in \{\text{ 全てのホメオモーフィズム（位相同形写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)はコンティニュアス（連続）であり、\(f'\)はコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ2: \(f'\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることを見る; ステップ3: \(f'^{-1}\)は\(f (V_1)\)のカノニカル（正典）トポロジカルスペース（空間）からコンティニュアス（連続）である; ステップ4: \(f (V_1)\)のカノニカル（正典）トポロジカルスペース（空間）は\(V_2\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）に等しいことを見る。
ステップ1:
\(f\)はコンティニュアス（連続）である、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）たちでカノニカル（正典）トポロジーたちを持つものたち間任意のリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
\(f'\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
ステップ2:
\(f (V_1)\)は\(V_2\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）である、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間任意のリニアマップ（線形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のベクトルたちサブスペース（部分空間）であるという命題によって。
\(f'\)はバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）であるから、\(f'\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
ステップ3:
したがって、\(f'^{-1}\)はリニア（線形）である。
\(f'^{-1}\)は、\(f (V_1)\)のカノニカル（正典）トポロジカルスペース（空間）からコンティニュアス（連続）である、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）たちでカノニカル（正典）トポロジーたちを持つものたち間任意のリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって、しかし、課題は、私たちは、\(V_2\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）からの\(f'^{-1}\)について話しているのであって、当該カノニカル（正典）トポロジカルスペース（空間）からのものについてではない。
ステップ4:
しかし、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものに対して、任意のベクトルたちサブスペース（部分空間）のカノニカル（正典）トポロジーはサブスペース（部分空間）トポロジーであるという命題によって、実のところ、\(V_2\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）としての\(f (V_1)\)は当該カノニカル（正典）トポロジカルスペース（空間）に等しい。
したがって、\(f'^{-1}\)は、\(V_2\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）からコンティニュアス（連続）である。
したがって、\(f'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
