コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）はカノニカル（正典）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）と見なすことができるという命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のモジュール（加群）たち間任意のリニアマップ（線形写像）および第1マップ（写像）のコドメイン（余域）の任意のスーパーモジュール（超加群）から任意のモジュール（加群）の中への任意のリニアマップ（線形写像）に対して、第1マップ（写像）の後に第2マップ（写像）を行なうコンポジション（合成）はリニア（線形）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち間任意のリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(d_1\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(d_2\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(\mathbb{C}^{d_1}\): \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、コンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でもある
\(\mathbb{C}^{d_2}\): \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、コンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でもある
\(f\): \(: \mathbb{C}^{d_1} \to \mathbb{C}^{d_2}\)、\(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f_1: \mathbb{R}^{2 d_1} \to \mathbb{C}^{d_1}\)および\(f_2: \mathbb{R}^{2 d_2} \to \mathbb{C}^{d_2}\)をカノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）たちとして取る; ステップ2: \(f = f_2 \circ {f_2}^{-1} \circ f \circ f_1 \circ {f_1}^{-1}\)であることを見る; ステップ3: \(f_2\)、\({f_2}^{-1} \circ f \circ f_1\)、\({f_1}^{-1}\)たちはコンティニュアス（連続）であることを見る。
ステップ1:
カノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）たち\(f_1: \mathbb{R}^{2 d_1} \to \mathbb{C}^{d_1}\)および\(f_2: \mathbb{R}^{2 d_2} \to \mathbb{C}^{d_2}\)を取ろう: それらは、ホメオモーフィズム（位相同形写像）たちである、なぜなら、\(\mathbb{C}^{d_1}\)および\(\mathbb{C}^{d_2}\)のトポロジーたちは、それらをホメオモーフィズム（位相同形写像）たちにするように定義されている。
ステップ2:
\(f = f_2 \circ {f_2}^{-1} \circ f \circ f_1 \circ {f_1}^{-1}\)。
ステップ3:
\(f_2\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、それはホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
\({f_1}^{-1}\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、なぜなら、\(f_1\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であり、コンティニュアス（連続）である。
\(f_1\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、\(\mathbb{C}^{d_1}\)を\(\mathbb{R}\)ベクトルたちスペース（空間）とみなして: 任意のコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）はカノニカル（正典）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）と見なすことができるという命題を参照のこと。
各\(r, r' \in \mathbb{R}^{2 d_1}\)および\(s, s' \in \mathbb{R}\)に対して、\(f_1 (s r + s' r') = f_1 (s (r^1, r^2, ..., r^{2 (d_1 - 1) + 1}, r^{2 d_1}) + s' (r'^1, r'^2, ..., r'^{2 (d_1 - 1) + 1}, r'^{2 d_1})) = f_1 ((s r^1 + s' r'^1, s r^2 + s' r'^2, ..., s r^{2 (d_1 - 1) + 1} + s' r'^{2 (d_1 - 1) + 1}, s r^{2 d_1} + s' r'^{2 d_1})) = (s r^1 + s' r'^1 + (s r^2 + s' r'^2) i, ..., s r^{2 (d_2 - 1) + 1} + s' r'^{2 (d_1 - 1) + 1} + (s r^{2 d_1} + s' r'^{2 d_1}) i) = s (r^1 + r^2 i, ..., r^{2 (d_1 - 1) + 1} + r^{2 d_1} i) + s' (r'^1 + r'^2 i, ..., r'^{2 (d_1 - 1) + 1} + r'^{2 d_1} i) = s f_1 (r) + s' f_1 (r')\)、したがって、\(f_1\)は\(\mathbb{R}\)-リニア（線形）である。
任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって、\(f_2\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
同様に、\(f_2\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、\(\mathbb{C}^{d_2}\)を\(\mathbb{R}\)ベクトルたちスペース（空間）とみなして。
したがって、\({f_2}^{-1}\)は\(\mathbb{R}\)-リニア（線形）である。
\(f\)は\(\mathbb{R}\)-リニア（線形）である、\(\mathbb{C}^{d_1}\)および\(\mathbb{C}^{d_2}\)を\(\mathbb{R}\)ベクトルたちスペース（空間）たちとみなして、なぜなら、それは、\(\mathbb{C}\)-リニア（線形）である。
したがって、\({f_2}^{-1} \circ f \circ f_1: \mathbb{R}^{2 d_1} \to \mathbb{R}^{2 d_2}\)はユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たち間\(\mathbb{R}\)-リニアマップ（線形写像）である、任意のモジュール（加群）たち間任意のリニアマップ（線形写像）および第1マップ（写像）のコドメイン（余域）の任意のスーパーモジュール（超加群）から任意のモジュール（加群）の中への任意のリニアマップ（線形写像）に対して、第1マップ（写像）の後に第2マップ（写像）を行なうコンポジション（合成）はリニア（線形）であるという命題によって。
任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって、\({f_2}^{-1} \circ f \circ f_1\)はコンティニュアス（連続）である。
したがって、\(f = f_2 \circ {f_2}^{-1} \circ f \circ f_1 \circ {f_1}^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
