'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、その、サブスペース（部分空間）ドメイン（定義域）および対応するレンジ（値域）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、その、任意のサブスペース（部分空間）ドメイン（定義域）および対応するレンジ（値域）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V'_1\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V'_2\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(f'\): \(: V'_1 \to V'_2\), \(\in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{V'_1 \text{ の全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(= f' (V_1)\)
\(f\): \(= f \vert_{V_1}: V_1 \to V_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V_2\)は\(V'_2\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）であることを見る; ステップ2: \(f\)はリニア（線形）であることを見る; ステップ3: \(f\)はバイジェクティブ（全単射）であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(V_2 := f' (V_1)\)は\(V'_2\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）である、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）マップ（写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のベクトルたちサブスペース（部分空間）であるという命題によって、それが意味するのは、\(V_2\)は\(F\)ベクトルたちスペース（空間）であるということ。
したがって、\(f\)はある\(F\)ベクトルたちスペース（空間）からある\(F\)ベクトルたちスペース（空間）の中へのマップ（写像）である。
ステップ2:
\(f\)はリニア（線形）である、なぜなら、各\(v_1, v_2 \in V_1\)および各\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\(f (r_1 v_1 + r_2 v_2) = f' (r_1 v_1 + r_2 v_2) = r_1 f' (v_1) + r_2 f' (v_2) = r_1 f (v_1) + r_2 f (v_2)\)。
ステップ3:
\(f\)はバイジェクティブ（全単射）である、なぜなら、以下を満たす各\(v_1, v_2 \in V_1\)、つまり、\(v_1 \neq v_2\)、に対して、\(f (v_1) = f' (v_1) \neq f' (v_2) = f (v_2)\)、なぜなら、\(f'\)はインジェクティブ（単射）である、そして、\(f\)は明らかにサージェクティブ（全射）である。
ステップ4:
任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって、\(f\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
