2025年10月12日日曜日

1357: インフィニット(無限)-ディメンショナル(次元)ベクトルたちスペース(空間)に対して、ベーシス(基底)の "デュアル"は、コベクトルたち(デュアル)スペース(空間)に対するベーシス(基底)では決してない

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インフィニット(無限)-ディメンショナル(次元)ベクトルたちスペース(空間)に対して、ベーシス(基底)の "デュアル"は、コベクトルたち(デュアル)スペース(空間)に対するベーシス(基底)では決してないことの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース(空間)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のインフィニット(無限)-ディメンショナル(次元)ベクトルたちスペース(空間)に対して、任意のベーシス(基底)の "デュアル"は、当該コベクトルたち(デュアル)スペース(空間)に対するベーシス(基底)では決してないという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド(体)たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース(空間)たち }\}\)
\(V^*\): \(= L (V: F)\)
\(B\): \(\in \{\text{ に対する全てのベーシス(基底)たち } V\}\), \(= \{b_j \vert j \in J\}\)
\(B^*\): \(= \{b^j \vert j \in J\}\)で、\(\forall j \in J (\forall l \in J (b^j (b_l) = \delta^j_l))\)を満たすもの
//

ステートメント(言明)たち:
\(B^* \notin \{V^* \text{ に対する全てのベーシス(基底)たち }\}\)
//


2: 注


これが言っているのは、\(B^*\)は決してベーシス(基底)ではないということであって、"必ずしもベーシス(基底)ではない"ということではない。

ファイナイト(有限)-ディメンショナル(次元)ベクトルたちスペース(空間)に対するベーシス(基底)の、コベクトルたち(デュアル)スペース(空間)に対するデュアルベーシス(基底)の定義と比較のこと。

本記事は、"デュアル"という表現を二重引用符付きで使用する、なぜなら、\(B^*\)は通常"デュアル"とは呼ばれない、なぜなら、それはデュアルベーシス(基底)ではない。


3: 証明


全体戦略: ステップ1: \(B^*\)はウェルデファインド(妥当に定義された)であることを見る; ステップ2: \(w \in V^*\)を、各\(v = v^{j_1} b_{j_1} + ... + v^{j_n} b_{j_n}\)に対して、\(w (v) = v^{j_1} + ... + v^{j_n}\)として取り、\(w\)は\(B^*\)によってスパン(張る)されないことを見る。

ステップ1:

\(B^*\)はウェルデファインド(妥当に定義された)であることを見よう。

\(v = v^{j_1} b_{j_1} + ... + v^{j_n} b_{j_n} \in V\)を任意のものとしよう、それは、非ゼロコンポーネントたちを持つとしてユニーク分解である、任意のベーシス(基底)を持つ任意のモジュール(加群)に対して、任意の要素の当該ベーシス(基底)に関するコンポーネントたちセット(集合)はユニークであるという命題によって。

\(b^j (v) = b^j (v^{j_1} b_{j_1} + ... + v^{j_n} b_{j_n}) = v^{j_1} b^j (b_{j_1}) + ... + v^{j_n} b^j (b_{j_n}) = v^{j_1} \delta^j_{j_1} + ... + v^{j_n} \delta^j_{j_n}\)、ユニークに決定されて。

\(b^j\)はリニア(線形)である、なぜなら、各\(v = v^{j_1} b_{j_1} + ... + v^{j_n} b_{j_n}, v' = v'^{l_1} b_{l_1} + ... + v'^{l_m} b_{l_m} \in V\)および各\(r, r' \in F\)に対して、\(b_j\)が\(v\)にも\(v'\)にも含まれていない時は、\(b^j (r v + r' v') = 0 = 0 + 0 = r b^j (v) + r' b^j (v')\); \(b_j\)が\(v\)のみに\(b_{j_p}\)として含まれている時は、\(b^j (r v + r' v') = r v^{j_p} = r v^{j_p} + 0 = r b^j (v) + r' b^j (v')\); \(b_j\)が\(v'\)のみに\(b_{l_q}\)として含まれている時は、\(b^j (r v + r' v') = r' v'^{l_q} = 0 + r' v'^{l_q} = r b^j (v) + r' b^j (v')\); \(b_j\)が\(v\)に\(b_{j_p}\)として\(v'\)に\(b_{l_q}\)として両方に含まれている時は、\(b^j (r v + r' v') = r v^{j_p} + r' v^{l_q} = r b^j (v) + r' b^j (v')\)。

したがって、\(b^j \in V^*\)。

ステップ2:

\(w \in V^*\)を、各\(v = v^{j_1} b_{j_1} + ... + v^{j_n} b_{j_n}\)に対して、\(w (v) = v^{j_1} + ... + v^{j_n}\)、として取ろう。

\(w\)はウェルデファインド(妥当に定義された)である、なぜなら、当該分解は、非ゼロコンポーネントたちを持つとしてユニークである、前と同様。

\(w\)は本当にリニア(線形)であることを見よう。

\(v = v^{k_1} b_{k_1} + ... + v^{k_m} b_{k_m}, v' = v'^{l_1} b_{l_1} + ... + v'^{l_n} b_{l_n} \in V\)および\(r, r' \in F\)を任意のものたちとしよう。

\(K := \{k_1, ... k_m\}\)および\(L := \{l_1, ... l_n\}\)としよう。

\(K \cap L\)は空かもしれないし非空かもしれない、しかし、いずれにせよ、\(v = \sum_{k \in K \setminus L} v^k b_k + \sum_{k \in K \cap L} v^k b_k\)および\(v' = \sum_{l \in L \setminus K} v^l b_l + \sum_{k \in K \cap L} v^k b_k\)。

\(r v + r' v' = r (\sum_{k \in K \setminus L} v^k b_k + \sum_{k \in K \cap L} v^k b_k) + r' (\sum_{l \in L \setminus K} v'^l b_l + \sum_{k \in K \cap L} v'^k b_k) = r \sum_{k \in K \setminus L} v^k b_k + r' \sum_{l \in L \setminus K} v'^l b_l + \sum_{k \in K \cap L} (r v^k + r' v'^k) b_k\)。

したがって、\(w (r v + r' v') = r \sum_{k \in K \setminus L} v^k + r' \sum_{l \in L \setminus K} v'^l + \sum_{k \in K \cap L} (r v^k + r' v'^k) = r \sum_{k \in K \setminus L} v^k + \sum_{k \in K \cap L} r v^k + r' \sum_{l \in L \setminus K} v'^l + \sum_{k \in K \cap L} r' v'^k = r (\sum_{k \in K \setminus L} v^k + \sum_{k \in K \cap L} v^k) + r' (\sum_{l \in L \setminus K} v'^l + \sum_{k \in K \cap L} v'^k) = r \sum_{k \in K} v^k + r' \sum_{l \in L} v'^l = r w (v) + r' w (v')\)。

したがって、本当に、\(w \in V^*\)。

\(w\)は\(B^*\)によってスパン(張る)されないことを見よう。

\(w = w^1 b^{j_1} + ... + w^m b^{j_m}\)であると仮定しよう。

ある\(b^l \in B^* \setminus \{b^{j_1}, ..., b^{j_m}\}\)がある。

すると、\(w (b_l) = 1\)、しかし、\((w^1 b^{j_1} + ... + w^m b^{j_m}) (b_l) = 0 + ... + 0 = 0\)、矛盾。

したがって、\(w\)は\(B^*\)によってスパン(張る)されない。

したがって、\(B^*\)はベーシス(基底)ではない。


参考資料


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